Инженерный тур. 1 этап

Ниже представлено решение на языке C.

#define OPEN 1
#define CLOSE 0
#define NORMAL_MODE 0
#define NORMAL_MODE_LIMIT 1650
#define SERVICE_MODE_LIMIT 1685

int getValveState(int frecuency, int mode) // функция, которая принимает значение частоты (frecuency) и режима (mode). Возвращает состояние открыть или закрыть
{
    if(mode == NORMAL_MODE) // если мы попали в нормальный режим
    {
        if(frecuency > NORMAL_MODE_LIMIT) // если значение частоты больше предела, нужно закрыть клапан, иначе открыть его.
        {
            return CLOSE;
        }
        return OPEN;
    }
    else // если попали в сервисный режим
    {
        if(frecuency > SERVICE_MODE_LIMIT) // если значение частоты больше предела, нужно закрыть клапан, иначе открыть его.
        {
            return CLOSE;
        }
        return OPEN;
    }
}

1. Лопасть вращается с постоянной скоростью — вектор скорости в каждый момент времени изменяет только направление, сохраняя свое значение по модулю. Полное ускорение материальной точки будет складываться только из нормального (центростремительного) ускорения, которое можно найти по формуле: \[\label{eq:yat_0101} a = \frac{v^2}{R}.\] Переведем единицы измерения из оборотов в минуту: \[1400 \, \text{об/мин} = \frac{1400 \cdot 360 \cdot \pi}{180 \cdot 60} \, \text{рад/с} = 146{,}6 \, \text{рад/с}.\] Чтобы получить линейную скорость, умножим угловую скорость на радиус: \[v = \omega R = 146{,}6 \cdot 0{,}6 = 87{,}9 \, \text{м/с}.\] Подставим полученное значение в формулу для вычисления нормального ускорения: \[a_n = \frac{(87{,}9)^2}{0{,}6} = 12887 \, \text{м/с}^2.\]

2. Вектор скорости точки в любой момент времени направлен по касательной к траектории движения. Отобразим этот вектор и спроецируем на заданные оси.

   
   Рис. 1.2.

   \(V_x\) можно выразить через один из двух углов прямоугольного треугольника. Так как скорость и координата однозначно связаны, зависимость будет одна и та же с точностью до множителя перед тригонометрической функцией. Ответ: синус/косинус, \(\sin\)/\(\cos\).

3. В данном случае, в отличие от п.1, вектор скорости изменяется не только по направлению, но и по модулю, и полное ускорение складывается из двух составляющих — тангенциального и нормального. Решение для поиска нормального ускорения приведено в п.1. Тангенциальную составляющую ускорения можно найти по формуле: \[a_\tau = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{87{,}9}{120} = 0{,}73 \, \text{м/с}^2.\] Скорость в момент \(t = 100\) с найдем, умножив тангенциальную составляющую ускорения на время: \[v(100) = a_\tau t = 73 \, \text{м/с}.\] По формуле \eqref{eq:yat_0101} найдем нормальную составляющую ускорения: \[a_n = \frac{73^2}{0{,}6} = 8882 \, \text{м/с}^2.\] Модуль полного ускорения точки можно получить по теореме Пифагора: \[a = \sqrt{a_n^2 + a_\tau^2} = \sqrt{8882^2 + 0{,}73^2} = 8882 \, \text{м/с}^2.\]
4. Закон движения точки по окружности можно записать следующим образом: \[x(t) = R \cos(\omega t),\] \[y(t) = R \sin(\omega t).\] Получим скорость, дифференцируя по \(t\): \[v_x(t) = -R \omega \sin(\omega t),\] \[v_y(t) = R \omega \cos(\omega t).\] Подставляя условия и результаты из предыдущих пунктов, получим: \[v_x(100) = -0{,}6 \cdot 146{,}6 \sin(146{,}6\cdot 100) = -85{,}4\, \text{м/с},\] \[v_y(100) = 0{,}6 \cdot 146{,}6 \cos(146{,}6\cdot 100) = 21{,}1 \, \text{м/с}.\] Определим тангенс угла и через него значение угла в градусах: \[\operatorname{tg}(\varphi)=\frac{v_x}{v_y} =-4{,}05,\] \[\varphi=\arctan(-4{,}05)=-76°.\] Также принимается ответ 104°.