Предметный тур. Физика. 3 этап

Обозначим объем шарика и кубика за \(V\), тогда объем сосуда будет \(4V\). Для средней плотности содержимого сосуда и шарика запишем \[\rho_1 = \frac{\rho \cdot 3V + \rho_{\text{ш}}V}{4V} = \frac{3\rho + \rho_{\text{ш}}}{4}.\] Плотность шарика: \[\rho_{\text{ш}} = 4\rho_1 - 3\rho = 2{,}4~\text{г/см}^3.\] Для средней плотности содержимого сосуда и кубика запишем \[\rho_2 = \frac{\rho \cdot 3V + \rho_{\text{к}}V}{4V} = \frac{3\rho + \rho_{\text{к}}}{4}.\] Плотность кубика: \[\rho_{\text{к}} = 4\rho_2 - 3\rho = 3{,}2~\text{г/см}^3.\] Для средней плотности содержимого сосуда, шарика и кубика запишем \[\rho_3 = \frac{\rho \cdot 2V + \rho_{\text{ш}}V + \rho_{\text{к}}V}{4V} = \frac{2\rho + \rho_{\text{ш}} + \rho_{\text{к}}}{4}.\] Складывая два первых уравнения и вычитая третье уравнение, получим \[\rho_1 + \rho_2 - \rho_3 = \rho \quad \rightarrow \quad \rho_3 = \rho_1 + \rho_2 - \rho,\] \[\rho_3 = 2{,}0~\text{г/см}^3.\]

При последовательном соединении элементов в цепи для общего тока и общего напряжения имеем: \[I = I_1 = I_2,\] \[U = U_1 + U_2.\] Ток, текущий через нелинейные элементы: \[I = \left(\frac{U}{\alpha_1 + \alpha_2}\right)^{1/2},\] \[I = 50~\text{мА}.\] Мощности, выделяющиеся на нелинейных элементах: \[P = IU = \alpha I^3,\] \[P_1 = I_1U_1 = \alpha_1I^3 = 25~\text{мВт},\] \[P_2 = I_2U_2 = \alpha_2I^3 = 87{,}5~\text{мВт}.\]

При последовательном соединении нелинейного элемента и резистора имеем: \[U = \alpha_1I^2 + IR.\] Решая квадратное уравнение \(\alpha_1I^2 + IR - U = 0\), получим: \[I = \frac{-R \pm \sqrt{R^2 + 4\alpha_1U}}{2\alpha_1}.\] Так как \(I > 0\), то \(I = 0{,}15\) А. Мощность, выделяющаяся на нелинейном элементе: \[P_{\text{НЭ}} = IU_1 = \alpha_1I^3 = 0{,}675~\text{Вт}.\] Мощность, выделяющаяся на резисторе: \[P_R = I^2R = 2{,}025~\text{Вт}.\]

Температура плавления льда \(t_0 = 0~°\)C.

Из уравнения теплового баланса для воды и льда: \[m_{\text{в}}c_{\text{в}}(t_{\text{в}} - t_1) = m_{\text{л}}c_{\text{л}}(t_0 - t_{\text{л}}) + m_{\text{л}}\lambda + m_{\text{л}}c_{\text{в}}(t_1 - t_0)\] найдем отношение массы воды к массе льда: \[\frac{m_{\text{в}}}{m_{\text{л}}} = \frac{-c_{\text{л}}t_{\text{л}} + \lambda + c_{\text{в}}t_1}{c_{\text{в}}(t_{\text{в}} - t_1)},\] \[\frac{m_{\text{в}}}{m_{\text{л}}} = 5.\]

При доливании воды из уравнения теплового баланса: \[m_{\text{в}}c_{\text{в}}(t_{\text{в}} - t_2) = (m_{\text{в}} + m_{\text{л}})c_{\text{в}}(t_2 - t_1)\] определим конечную температуру: \[t_2 = \frac{t_{\text{в}}\frac{m_{\text{в}}}{m_{\text{л}}} + t_1\left(\frac{m_{\text{в}}}{m_{\text{л}}} + 1\right)}{2\frac{m_{\text{в}}}{m_{\text{л}}} + 1},\] \[t_2 = 14{,}2~°\text{C}.\]

Из условия задачи имеем:

движение из пункта A в пункт B (\(v_1 = 40\) м/мин) \(t_1 = \dfrac{S_1}{v_1} = \dfrac{S}{4v_1};\)
движение из пункта B в пункт C (\(v_2 = 69\) м/мин) \(S_2 = v_2t_2 = \dfrac{v_2t}{3};\)
движение из пункта C в пункт D (\(v_3 = 60\) м/мин) \(S_3 = S - S_1 - S_2 = \dfrac{3S}{4} - \dfrac{v_2t}{3};\) \(t_3 = \dfrac{S_3}{v_3} = \dfrac{3S}{4v_3} - \dfrac{v_2t}{3v_3}.\)

Общее время движения автомобиля \[t = t_1 + t_2 + t_3 = \frac{S}{4v_1} + \frac{t}{3} + \frac{3S}{4v_3} - \frac{v_2t}{3v_3}.\]

Так как \[v_{\text{ср}} = \frac{S}{t},\] то из уравнения \[1 = \frac{v_{\text{ср}}}{4v_1} + \frac{1}{3} + \frac{3v_{\text{ср}}}{4v_3} - \frac{v_2}{3v_3}\] получим \[v_{\text{ср}} = \frac{4v_1(v_2 + 2v_3)}{3(3v_1 + v_3)},\] \[v_{\text{ср}} = 56~\text{м/мин}.\]

Из условия плавания плотика \[\rho_{\text{п}}V_{\text{п}}g = \rho_{\text{г}}S\Delta h g\] определим объем плотика: \[V_{\text{п}} = \frac{S\Delta h\rho_{\text{г}}}{\rho_{\text{п}}},\] \[V_{\text{п}} = 900~\text{см}^3.\] Из условия плавания плотика и льда \[\rho_{\text{п}}V_{\text{п}}g + \rho_{\text{л}}V_{\text{л}}g = \rho_{\text{г}}(V_{\text{п}} + 0{,}5V_{\text{л}})g\] определим объем льда: \[V_{\text{л}} = \frac{V_{\text{п}}(\rho_{\text{г}} - \rho_{\text{п}})}{\rho_{\text{л}} - 0{,}5\rho_{\text{г}}},\] \[V_{\text{л}} = 2400~\text{см}^3.\]

При таянии льда образуется вода плотности \(\rho_{\text{в}} = 1{,}0\) г/см\(^3\). Объем образовавшейся воды \[V_{\text{в}} = \frac{\rho_{\text{л}}V_{\text{л}}}{\rho_{\text{в}}} = 2160~\text{см}^3.\]

Так как плотность воды меньше плотности глицерина, то вся вода в сосуде расположится выше уровня глицерина. Так как объем воды больше объема плотика, а плотность плотика меньше плотности воды, то плотик будет плавать только в воде.

Таким образом, окончательное изменение уровня глицерина \[\Delta H = 0~\text{см}.\]

Предположим, что мячик бросили под углом к горизонту вверх. Уравнения движения мячика по вертикальной оси: \[y = H + v_0\sin\alpha t - gt^2/2.\] В момент падения мячика на землю \(y = 0\), таким образом: \[H = gt^2/2 - v_0\sin\alpha t = 0,\] что противоречит условию задачи.

Следовательно, мячик бросили под углом к горизонту вниз. Уравнения движения мячика по вертикальной оси \[y = H - v_0\sin\alpha t - gt^2/2.\]

Высота, с которой бросили мячик \[H = gt^2/2 + v_0\sin\alpha t = 40~\text{м}.\]

Проекция скорости мячика при падении на землю на горизонтальную ось \[v_x = v_0\cos\alpha \approx 17{,}3~\text{м/с}.\]

Проекция скорости мячика при падении на землю на вертикальную ось \[v_y = -v_0\sin\alpha - gt = -30~\text{м/с}.\]

Скорость падения мячика на землю \[v = (v_x^2 + v_y^2)^{1/2} \approx 34{,}6~\text{м/с}.\]

Угол падения мячика на землю \[\operatorname{tg}\beta = |v_y|/v_x \approx 1{,}73\quad (\beta = 60°).\]

Примечание

Скорость падения мячика на землю можно найти из закона сохранения энергии \(mv_0^2/2 + mgH = mv^2/2 \rightarrow v = (v_0^2 +2gH)^{1/2} \approx 34{,}6\) м/с.

Обозначим: \(c\) — гипотенуза прямоугольного треугольника. Поле, создаваемое зарядом \(+q_1\), в вершине прямого угла \[E_1 = kq_1/(c \sin\alpha)^2.\]

Поле, создаваемое зарядом \(-q_2\), в вершине прямого угла \[E_2 = kq_2/(c \cos\alpha)^2.\]

Используя принцип суперпозиции \(\vec{E} = \vec{E_1} + \vec{E_2}\), определим напряженность электрического поля в вершине прямого угла.

Так как треугольник прямоугольный и поле \(\vec{E}\) направлено параллельно гипотенузе, то \(\operatorname{tg}\alpha = E_1/E_2\).

Из уравнения \(\operatorname{tg}\alpha = E_1/E_2 = (q_1 \cos^2\alpha)/(q_2 \sin^2\alpha) = (q_1/q_2)\operatorname{ctg}^2\alpha\) получим \[q_2/q_1 = \operatorname{ctg}^3\alpha = 3\sqrt{3} \approx 5{,}2.\]

При последовательном соединении элементов в цепи для общего тока и общего напряжения имеем \[\begin{gather} I = I_1 = I_2;\\ U = U_1 + U_2;\\ U_a = \alpha_1I_a^2 + \alpha_2/I_a^2;\\ U_a = 12,75~\text{В}. \end{gather}\]

Из уравнения \(U = \alpha_1I^2 + \alpha_2/I^2\) получим биквадратное уравнение для тока \(\alpha_1I^4 - UI^2 + \alpha_2 = 0\).

Напряжение будет минимальным, если уравнение будет иметь один корень, то есть дискриминант будет равен нулю: \[\begin{gather} D = U^2 - 4\alpha_1\alpha_2 = 0;\\ U_{\text{min}} = (4\alpha_1\alpha_2)^{1/2} = 6~\text{В};\\ I_{\text{min}} = (U/(2\alpha_1))^{1/2} = 100~\text{мА}. \end{gather}\]

Мощность, выделяющаяся на нелинейных элементах: \[\begin{gather} P_1 = I_1U_1 = \alpha_1I_{\text{min}}^3 = 300~\text{мВт};\\ P_2 = I_2U_2 = \alpha_2/I_{\text{min}} = 300~\text{мВт}. \end{gather}\]

Обозначим: \(T\) — сила натяжения нити, \(a_1\), \(a_2\) и \(a\) — ускорения грузов и блока соответственно направленные вертикально вверх.

Запишем уравнения движения блока и грузов: \[\begin{gather} Ma = F - Mg - 2T;\\ m_1a_1 = T - m_1g;\\ m_2a_2 = T - m_2g. \end{gather}\]

Так как блок связан с грузами нерастяжимой нитью, то его ускорение связано с ускорениями грузов: \[a = (a_1 + a_2)/2.\]

Решая систему записанных уравнений, получим: \[\begin{gather} T = 4/17\cdot F = 2mg;\\ a = g/2;\\ a_1 = g;\\ a_2 = 0. \end{gather}\]

Уравнение состояния идеального газа \[pV = \nu RT.\]

Для процессов, в которых температура газа пропорциональна квадрату объема (\(T = \alpha V^2\)) получим \[pV = \nu R\alpha V^2 \rightarrow p = \alpha\nu RV = \beta V\] (давление пропорционально объему).

Рассмотрим процесс в осях \(pV\).

Исходя из данных задачи, имеем \[\begin{gather} p_4 = p_{\text{min}},\\ p_2 = p_{\text{max}},\\ V_3 = V_{\text{max}}. \end{gather}\]

Так как на участке \(3 \rightarrow 4\) давление пропорционально объему, то \[p_3/p_4 = V_3/V_4 \rightarrow p_3 = p_4V_3/V_4 = p_{\text{min}}V_{\text{max}}/V_4.\]

Так как участок \(2 \rightarrow 3\) — изотермический, то \[p_2V_2 = p_3V_3\quad (\text{или}~ p_{\text{max}}V_2 = p_3V_{\text{max}})\]

Окончательно получим \[\begin{gather} p_{\text{max}} = p_3V_{\text{max}}/V_2 = p_{\text{min}}(V_{\text{max}})^2/(V_2V_4),\\ p_{\text{max}} = 4,5~\text{атм}. \end{gather}\]