Предметный тур. Физика. 3 этап

Без учета влияния воздуха на груз, подвешенный на тросе, действуют только две силы: тяжести и натяжения троса. Пока беспилотник движется по прямой с постоянной скоростью \(v\), так же движется и груз, значит, его ускорение оказывается равно нулю, а трос натянут вертикально, чтобы скомпенсировать действие силы тяжести.

После резкого замедления груза задачу удобнее решать в системе отсчета, связанной с беспилотником. Начальная скорость груза в этой системе равна \(v_0 = v(1-1/n)\), а начальную высоту удобно считать нулевой. Поскольку за исключением однократного быстрого изменения скорости эта система инерциальна, а сопротивление воздуха мало, движение груза после замедления подчиняется закону сохранения механической энергии: \[\frac{mv_0^2}{2} + 0 = 0 + mgh \Rightarrow v_0 = \sqrt{2gh}.\] Чтобы получить ответ на вопрос задачи, эту скорость остается разделить на \((1-1/n)\): \[v = \frac{v_0}{1-1/n} = \frac{n}{n-1}\sqrt{2gh} = \frac{n}{n-1}\sqrt{\frac{gl}{2}} \approx 10{,}8 \textrm{\,м/с}.\]

Согласно условиям, при \(U > U_0\) сила тока \(I\) через нелинейный элемент прямо пропорциональна разности \(U-U_0\). Обозначим коэффициент этой пропорциональности \(k\): \[I(U) = k(U-U_0).\] Электрическое сопротивление \(R\) элемента — это отношение напряжения на его концах к силе протекающего через него тока, поэтому зависимость \(R(U)\) принимает вид \[R(U) = \frac{U}{I(U)} = \frac{U}{k(U-U_0)}.\] Легко видеть, что при \(U \gg U_0\) знаменатель этого выражения становится близок к \(U\), а значит, сопротивление нелинейного элемента приближается к величине \(1/k\), следовательно \[k = \frac{1}{R_1}.\] Подставив найденное значение коэффициента в выражение для силы тока при напряжении \(3U_0\), получим: \[I_1 = I(3U_0) = \frac{3U_0-U_0}{R_1} = \frac{2U_0}{R_1} \Rightarrow U_0 = \frac{I_1 R_1}{2} = 6\textrm{\,В}.\]

Очевидным следствием закона Архимеда является то, что слой с меньшей плотностью (обозначим ее \(\rho_1\)) находится выше слоя с большей (обозначим ее \(\rho_2\)).

Для каждого аэростата сила Архимеда \(\rho g V\), где \(\rho\) — плотность атмосферного слоя, в котором он находится, \(g\) — ускорение свободного падения планеты, а \(V\) — объем аэростата, должна в точности компенсировать силу тяжести, действующую на аэростат с грузом. Объем \(V\) не зависит от внешнего давления, поскольку по условиям оболочки аэростатов жесткие. Обозначив массу пустого аэростата \(m\), условия их равновесия запишем в виде \[\left\{\begin{aligned} &\rho_1 g V = m g, \\ &\rho_2 g V = 2 mg. \end{aligned}\right.\] Из этой системы элементарно следует \[\rho_2 = 2\rho_1.\] Обозначив \(h\) толщину верхнего слоя, запишем теперь выражения для давлений, действующих на барометры каждого из аэростатов. На каждый из них давление оказывает половина воздушного слоя, в котором он находится, и вышележащий слой, если такой есть: \[\left\{\begin{aligned} &p_1 = \frac{\rho_1 h}{2} g, \\ &p_2 = \left(\rho_1 h + \frac{\rho_2 2h}{2}\right) g = (\rho_1 + \rho_2)gh. \end{aligned}\right.\] Подставляя в последнее уравнение полученное выражение для \(\rho_2\), приведем его к виду \[p_2 = 3 \rho_1gh = 3p_1 = 36\textrm{\,кПа}.\]

Когда источник света находится строго в фокусе линзы, прожектор создает пучок лучей, параллельных главной оптической оси и перпендикулярных экрану (поверхности Земли), а значит, независимо от высоты дрона, радиус светового пятна равен радиусу линзы. Чтобы увеличить площадь светового пятна в четыре раза, его радиус необходимо увеличить в два раза. Поскольку по условиям источник сдвигается вниз (ближе к линзе), линза сформирует его мнимое изображение. Изобразим ход лучей в этом случае на чертеже (рис. 1.2). На нем \(O\) — оптический центр линзы, \(F\) — ее фокус, \(S\) — источник после смещения, \(A\) — мнимое изображение источника в линзе, \(B\) — край линзы, \(C\) — центр светового пятна, \(D\) — его край. Сплошные стрелки изображают реальный ход световых лучшей, редкий пунктир — их продолжения, частый тонкий пунктир — ход лучей до сдвига источника.

Из чертежа легко видеть, что треугольники \(\triangle ABO\) и \(\triangle ADC\) подобны (по двум углам), а значит, \[\frac{AC}{AO} = \frac{CD}{OB} = 2.\] При этом длина отрезка \(AO\) — есть расстояние \(f\) от мнимого изображения до плоскости линзы, а длина отрезка \(OC\) — высота зависания дрона. С учетом этого перепишем отношение в виде \[\frac{f+H}{f} = 2 \Rightarrow f = H\] и применим данный результат в формуле тонкой линзы: \[D = \frac{1}{d} -\frac{1}{H} \Rightarrow d = \left(D+\frac{1}{H}\right)^{-1} = \frac{H}{DH+1},\] где \(d\) — расстояние от линзы до источника (длина отрезка \(OS\) на рисунке). Чтобы окончательно дать ответ на вопрос задачи, вычтем новое значение \(d\) из прежнего, равного фокусному расстоянию \(1/D\): \[b = \frac{1}{D} - d = \frac{1}{D} - \frac{H}{DH +1} \approx 1{,}6\textrm{\,см}.\]

Прежде всего проанализируем характер зависимости \(\eta(v)\). Раскрыв скобки, легко видеть, что функция \[\eta(v) = -\frac{3}{4v_0^2}v^2 + \frac{3}{2v_0}v\] квадратичная, причем коэффициент перед ее старшим слагаемым отрицательный. Это значит, что ее график представляет собой параболу ветвями вниз.

Из исходного вида этой функции очень легко видеть, что она имеет два корня: \(\eta(v)\) равна нулю либо когда \(v = 0\), либо когда \(v = 2v_0\), откуда следует, что вершина параболы лежит ровно в середине между этими двумя корнями: в точке \(v = v_0\). Подставив это значение, получим \[\eta_{max} = \eta(v_0) = \frac{3v_0(2v_0-v_0)}{4v_0^2} = \frac{3}{4}.\] Это и есть КПД двигателя на крейсерской скорости \(v_0\). Найдем теперь КПД \(\eta_f\) двигателя в режиме форсажа: \[\eta_f = \eta\left(\frac{3}{2}v_0\right) = \frac{3\frac{3}{2}v_0(2v_0-\frac{3}{2}v_0)}{4v_0^2} = \frac{9}{16}.\]

Полезная мощность \(P\), которую необходимо развивать двигателю для преодоления силы сопротивления \(F\), определяется по формуле \(P = vF\), а потребляемая им мощность \(P_0\) равна, соответственно, \(P_0 = vF/\eta\). В то же время из раздела Электричество известно, что эта последняя равна \(UI\). Тогда сила тока в любом режиме может быть выражена как \[I = \frac{v F}{\eta U}.\]

Чтобы ответить на вопрос задачи, составим пропорцию между силами тока \(I_0\) в крейсерском и \(I_f\) в форсажном режиме: \[\frac{I_f}{I_0} = \frac{v_f F_f}{\eta_f \cancel{U}} \cdot \frac{\eta_{max} \cancel{U}}{v_0 F_0} = \frac{v_f}{v_0} \cdot \frac{F_f}{F_0} \cdot \frac{3}{4}\cdot\frac{16}{9},\] где индексы \(0\) и \(f\) также используются для обозначения величин, относящихся к крейсерскому и форсажному режимам соответственно.

Согласно условиям задачи \(v_f/v_0 = k\), а соответствующее увеличение силы сопротивления воздуха \(F_f/F_0 = (v_f/v_0)^2 = k^2\). Тогда окончательно \[\frac{I_f}{I_0} = k^3\frac{4}{3} = \frac{9}{2}.\]

Изобразим ход одного луча в призме (рис. 2.2). В силу симметрии, лучи выходят из призмы по нормали к ее границе раздела, поэтому полное внутреннее отражение возможно только на самой широкой стороне призмы. Найдем угол падения света на эту границу. Угол \(\beta\) при основании призмы легко найти, опираясь на сумму углов треугольника и равенство углов при основании равнобедренного треугольника: \[\alpha + 2\beta = 180° \Rightarrow \beta = 90°-\frac{\alpha}{2}.\] Угол \(\gamma\), который падающий луч составляет с широкой гранью призмы, можно найти, опираясь на сумму углов в треугольнике, образованном этим лучем и двумя гранями призмы. Поскольку первое падение по условиям задачи происходит по нормали (под углом \(90°\) к границе раздела), а угол между гранями равен \(\beta\), справедливо равенство \[\gamma + \beta + 90° = 180° \Rightarrow \gamma = 90° - \beta = \frac{\alpha}{2}.\] Наконец, угол падения луча \(\phi\) по определению является углом между падающим лучом и нормалью к границе раздела; следовательно, он равен \[\phi = 90° - \gamma = 90° - \frac{\alpha}{2}.\] Согласно закону Снеллиуса, критический угол \(\phi_\textrm{кр}\) полного внутреннего отражения достигается тогда, когда синус угла падения оказывается равен относительному показателю преломления сред: \[\frac{1}{n} = \sin \phi_\textrm{кр} = \cos \frac{\alpha_\textrm{кр}}{2}.\] При меньших углах падения (и, следовательно, больших углах \(\alpha\)) явление полного внутреннего отражения наблюдаться не будет. Отсюда \[\alpha_\textrm{кр} = 2\arccos\left(\frac{1}{n}\right) \approx 108°.\]

Рассмотрим движение первого дрона. На первом участке пути \(S_1\) он движется без начальной скорости с постоянным ускорением \(a\), поэтому для этой половины закон движения имеет вид \[S_1 = \frac{a t_1^2}{2}.\] На втором участке пути \(S_1^\prime\) дрон движется с меньшим ускорением, но обладает начальной скоростью \(v_1 = a t_1\), поэтому его закон движения принимает вид \[S_1^\prime = v_1 t_1 + \frac{a t_1^2}{4} = \frac{5}{4}at_1^2.\] Таким образом, общий путь \(S_1\) дрона связан с его временем в движении выражением \[S = S_1 + S_1^\prime = \frac{7}{4}at_1^2.\] Аналогичные рассуждения для второго дрона (все величины с индексом \(2\) вместо \(1\)) имеют вид \[S_2 = \frac{a t_2^2}{4}; \qquad v_2 = \frac{at_2}{2},\] \[S_2^\prime = v_2 t_2 + \frac{a t_2^2}{2} = at_2^2,\] \[S = S_2 + S_2^\prime = \frac{5}{4}at_2^2.\] Приравнивая эти совокупные пути, получим \[\frac{7\cancel{a} t_1^2}{\cancel{4}} = \frac{5\cancel{a} t_2^2}{\cancel{4}} \Rightarrow \frac{t_2}{t_1} = \sqrt{\frac{5}{7}} \approx 1{,}18.\]

Изобразим цикл на \(pV\)-координатах: он имеет вид прямоугольника (рис. 2.3). Легко заметить, что площадь внутри этого прямоугольника (работа за цикл) \[A = (m-1)(n-1)p_1V_1.\]

Обозначим искомую молярную теплоемкость \(C_V\). Процесс 1–2 изохорный, поэтому газ получает на нем теплоту в количестве, полностью определяемом этой величиной: \[Q_{12} = C_V \nu (T_2 - T_1),\]

где \(\nu\) — количество вещества рабочего газа, а \(T_{1{,}2}\) — абсолютные температуры газа в точках \(1\) и \(2\) соответственно. Газ также получает теплоту на изобарном процессе 2–3, где количество этой теплоты можно выразить при помощи первого начала термодинамики: \[Q_{23} = C_V \nu (T_3 - T_2) + mp_1 (n-1)V_1,\] где \(T_3\) — абсолютная температура газа в точке \(T_3\).

Таким образом, КПД цикла определяется соотношением \[\eta = \frac{A}{Q_{12} + Q_{23}} = \frac{(m -1)(n -1)p_1V_1}{C_V\nu (T_3-T_1) + m(n-1)p_1V_1}.\] Поскольку рабочее тело ведет себя как идеальный газ, к нему применимо уравнение Менделеева – Клапейрона, из которого следует \[\nu T_1 = \frac{p_1 V_1}{R}; \qquad \nu T_3 = \frac{mnp_1 V_1}{R}.\] С учетом этих соотношений выражение для КПД принимает вид \[\eta = \frac{(m -1)(n -1)\cancel{p_1V_1}}{C_V/R(mn-1)\cancel{p_1V_1} + m(n-1)\cancel{p_1V_1}},\] откуда окончательно выразим \(C_V\): \[\begin{aligned} C_V = \frac{(m-1)(n-1)}{\eta (mn-1)}R - \frac{m(n-1)}{mn-1}R = \frac{(n-1)(m-m\eta-1)}{\eta (mn-1)}R=\\ =\frac{12}{5} R \approx 20\textrm{\,Дж/(моль$\cdot$К)}. \end{aligned}\]

Напряжение на двигателях, подключенных параллельно к идеальному источнику, будет равно ЭДС \(\mathcal{E}_0\) этого источника. Напряжение на любой группе двигателей, подключенных к неидеальному источнику, не может превышать ЭДС источника, а значит, на каждом из двигателей оно не будет превышать \(\mathcal{E}/n\), где \(n\) — число двигателей в группе. Для протекания через отдельный двигатель номинальной силы тока напряжение на двигателе также должно быть номинальным. Но учитывая известные значения \(\mathcal{E}\) и \(\mathcal{E}_0\), легко видеть, что \(\mathcal{E}_0 < \mathcal{E}/n\) только при \(n = 1\) и \(n = 2\). Первый вариант невозможен, поскольку в этом случае двигатели остаются фактически подключены по прежней схеме, а по условиям такое подключение выведет их из строя. Значит, в каждой группе последовательно соединенных элементов по два двигателя.

Обозначим сопротивление одного двигателя \(R_0\). Тогда эквивалентное сопротивление одной группы двигателей \(R_1 = 2R_0\), а шести таких групп, соединенных параллельно: \[R = \frac{R_1}{6} = \frac{R_0}{3}.\] По закону Ома для полной цепи через эту батарею будет протекать ток \[I = \frac{\mathcal{E}}{R + r} = \frac{\mathcal{E}}{R_0/3 + r},\] а значит, через каждый двигатель будет протекать ток, равный \[I_0 = \frac{I}{6} = \frac{\mathcal{E}}{2R_0 + 6r}.\] В то же время, при подключении двигателей по изначальному плану, эта сила тока составила бы \[I_0 = \frac{\mathcal{E}_0}{R_0}.\] Приравнивая эти два выражения, получим \[\frac{\mathcal{E}_0}{R_0} = \frac{\mathcal{E}}{2R_0 + 6r} \Rightarrow R_0 = \frac{6 r \mathcal{E}_0}{\mathcal{E} - 2\mathcal{E}_0}.\] Используя последние два соотношения, находим окончательно ответ на вопрос задачи: \[I_0 = \frac{\mathcal{E}_0}{R_0} = \frac{\mathcal{E}-2\mathcal{E}_0}{6r} = 10\textrm{\,А}.\]

Прежде всего введем систему обозначений. Обозначим искомые скорости вращения уцелевших двигателей \(\omega_{B,C,D,F}\). Аналогично эти же индексы будем использовать для других величин, связанных с двигателем в соответствующей вершине. Величины, касающиеся работы двигателей до поломки, будем помечать индексом \(0\). Введем систему координат так, как это изображено на рис. 2.5: ось \(0x\) проведем через вершины \(F\) и \(C\), а \(0y\) — перпендикулярно ей. Начало системы координат поместим в центр масс мультикоптера. Сторону шестиугольника обозначим \(a\).

Для того чтобы коптер остался в равновесии, должны выполниться четыре условия. Первое из них достаточно очевидно: сумма подъемных сил \(F\), действующих на коптер, должна остаться неизменной, так как не изменился вес коптера: \[F_B + F_C + F_D + F_F = 6F_0.\] Второе условие: суммарный момент подъемных сил относительно \(0x\) должен остаться равен нулю. Относительно этой оси плечи подъемных сил в вершинах \(F\) и \(C\), а также плечо силы тяжести равны нулю. Плечи подъемных сил в вершинах \(B\) и \(D\) одинаковы и равны \(\sqrt{3}a/2\), при этом эти вершины находятся по разные стороны от оси. Следовательно, уравнение моментов принимает вид \[F_B \cancel{\frac{\sqrt{3}a}{2}} = F_D \cancel{\frac{\sqrt{3}a}{2}}.\] Третье условие: суммарный момент подъемных сил относительно \(0y\) должен остаться равен нулю. Относительно этой оси плечи подъемных сил в вершинах \(F\) и \(C\) одинаковы и равны \(a\). Плечи подъемных сил в вершинах \(B\) и \(D\) одинаковы и равны \(a/2\). Плечо силы тяжести вновь равно нулю. С учетом направлений действия соответствующих сил, уравнение моментов принимает вид \[F_F \cancel{a} = F_C \cancel{a} + (F_B + F_D)\frac{\cancel{a}}{2}.\] Последнее условие предотвращает вращение мультикоптера в плоскости рисунка. Каждый двигатель, вращая свои лопасти и действуя на них с некоторым моментом \(M\), создает момент \(-M\), действующий на коптер в противоположную сторону (по третьему закону Ньютона). Это значит, что суммарный момент сил относительно осей двигателей для всех двигателей, вращающихся в одну сторону (в вершинах \(F\), \(B\) и \(D\)), должен равняться суммарному моменту двигателей, вращающихся в другую сторону (только в вершине \(C\) из уцелевших): \[M_C = M_B+M_D+M_F.\] Во всех четырех составленных уравнениях учтем пропорциональность сил и моментов соответствующим угловым скоростям, и перепишем систему через эти скорости (коэффициенты пропорциональности во всех уравнениях ниже сразу сократим): \[\left\{\begin{aligned} &\omega_B + \omega_C + \omega_D + \omega_F = 6\omega_0,\\ &\omega_B = \omega_D, \\ &\omega_F = \omega_C + \frac{\omega_B + \omega_D}{2},\\ &\omega_C = \omega_B+\omega_D+\omega_F. \end{aligned}\right.\] Эта система имеет единственное решение: \[\left\{\begin{aligned} &\omega_B = \omega_D = 0, \\ &\omega_F = \omega_C = 3\omega_0. \\ \end{aligned}\right.\] Такое равновесие, разумеется, является неустойчивым и не может удерживаться без контроля со стороны электроники коптера.