Инженерный тур. 2 этап

Длину импульса можно определить, умножив скорость распространения излучения в оптоволокне на ширину импульса (его длительность): \[l = \frac{c}{n} \cdot t = \frac{3 \cdot 10^8}{1{,}47} \cdot 2 \cdot 10^{-9} = 0{,}408 = 0{,}41 ~ \text{м}.\]

По заданной частоте генерации импульсов можно определить промежуток времени между двумя импульсами: \[t = \frac{1}{500 \cdot 10^6} = 2 \cdot 10^{-9} \, \text{с},\] то есть импульсы следуют сразу друг за другом. Тогда общее число импульсов можно определить простым делением: \[N = \frac{L}{l} = \frac{5000}{0{,}41} = 12195.\]

Рабочий цикл: \[D = \frac{t}{T},\] где \(t\) — ширина импульса по основанию, \(T\) — период. Тогда количество импульсов, которые поместятся в оптическое волокно: \[N = \frac{L \cdot n \cdot D}{c \cdot t},\] где \(L\) — длина волоконной линии 5000 м, \(n\) — показатель преломления 1,47, \(c\) — скорость света \(3\cdot10^8\) м/с. \[N = \frac{5000 \cdot 1{,}47 \cdot 0{,}3}{3 \cdot 10^8 \cdot 2 \cdot 10^{-9}} = 3675.\]

Коэффициент нормировки должен подбираться таким образом, чтобы сумма квадратов модулей коэффициентов при \(\ket{H}\) и \(\ket{V}\) была равна 1. Отсюда получаем уравнение: \[|N|^2 (4 + 1) = 1 \Rightarrow N = \frac{1}{\sqrt{5}} = 0{,}4472.\]

При прохождении фотона через волоконный делитель 50/50 происходит простое разделение вероятности прохождения по верхнему и нижнему плечу интерферометра, без скачка фазы. При подключении оптоволокна к PBS, реализованному указанным образом, для каждого из плеч интерферометра происходит разделение состояния фотона на вертикальное (со скачком фазы на \(\pi\)) и горизонтальное.

Таким образом, на детектор \(D1\) придет состояние: \[\begin{aligned} \ket{\psi} \rightarrow \frac{\ket{\psi}}{\sqrt{2}} (\text{верхний}) + \frac{\ket{\psi}}{\sqrt{2}} (\text{нижний}) \rightarrow\\ {}\rightarrow \frac{\ket{V}}{\sqrt{10}} (\text{с верхнего плеча}) + \frac{2\ket{H}}{\sqrt{10}} (\text{с нижнего плеча}). \end{aligned}\]

Отсюда получаем полную вероятность срабатывания детектора \(D1\) как: \[\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)^2 + \left(\frac{2}{\sqrt{10}}\right)^2 = \frac{1}{10} + \frac{4}{10} = \frac{5}{10} = 0{,}5.\]

При прохождении фотона через волоконный делитель 50/50 происходит простое разделение вероятности прохождения по верхнему и нижнему плечу интерферометра, без скачка фазы. При подключении оптоволокна к PBS, реализованному указанным образом, для каждого из плеч интерферометра происходит разделение состояния фотона на вертикальное (со скачком фазы на \(\pi\)) и горизонтальное.

Таким образом, на детектор \(D2\) придет состояние: \[\begin{aligned} \ket{\psi} \rightarrow \frac{\ket{\psi}}{\sqrt{2}} (\text{верхний}) + \frac{\ket{\psi}}{\sqrt{2}} (\text{нижний}) \rightarrow\\ {}\rightarrow -\frac{\ket{V}}{\sqrt{10}} (\text{с нижнего плеча}) + \frac{2\ket{H}}{\sqrt{10}} (\text{с верхнего плеча}). \end{aligned}\]

Отсюда получаем вероятность прихода фотона с вертикальной поляризацией на детектор \(D2\) как: \[\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)^2 = \frac{1}{10} = 0{,}1\]

Случайные дискретные события описываются распределением Пуассона: \[P(n_p, \mu) = \frac{\mu^{n_p}}{n_p!} \cdot \exp(-\mu),\] где \(\exp(a)=e^a\).

Число однофотонных импульсов можно определить, зная вероятность \(P\) генерации импульса с \(n_p = 1\) фотоном при среднем числе фотонов в импульсе \(\mu = 1\): \[P = \frac{1^1}{1!} \cdot \exp(-1) = 0{,}37.\]

Значит, из 100 импульсов 37 будут однофотонными.

При заданных условиях работы генератора возможно 10 равновероятных исходов его запуска. Поэтому для любого числа из заданного отрезка вероятность его выпадения будет равна: \[P = \frac{1}{10} = 0{,}1.\]

При заданных условиях работы генератора возможно бесконечное число равновероятных исходов его запуска. Поэтому для любого конкретного числа из заданного отрезка вероятность его выпадения будет равна 0.

Распределение Гаусса задается выражением: \[p(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp\left(-\frac{(x - \mu)^2}{2 \sigma^2}\right),\] где \(\exp(a)=e^a\).

Вероятность сгенерировать число в заданном промежутке определяется выражением: \[P = \int_{3 \cdot 2}^{3{,}5 \cdot 2} \frac{1}{\sqrt{2 \pi \cdot 2^2}} \exp\left(-\frac{(x - 0{,}5)^2}{2 \cdot 2^2}\right) dx = 0{,}0024.\]

Есть три простых варианта решения и еще множество сложных:

1. прогонный тест,
2. расчет параметра \(\chi^2\),
3. расчет автокорреляционной функции — для равномерного распределения она будет иметь наименьшее значение.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import chisquare

def read_binary_sequence(file_path):
    with open(file_path, 'r') as file:
        sequence = [int(bit) for bit in file.read().strip() if bit in '01']
    return sequence

def runs_test(sequence):
    """Perform the Runs Test on a binary sequence."""
    n = len(sequence)
    if n == 0:
        return 0, 0, 0

    # Count the number of runs
    runs = 1
    for i in range(1, n):
        if sequence[i] != sequence[i - 1]:
            runs += 1

    # Calculate proportions of 0s and 1s
    p1 = np.sum(sequence) / n  # Proportion of 1s
    p0 = 1 - p1  # Proportion of 0s

    # Calculate expected number of runs
    expected_runs = (2 * p1 * p0 * n) / (p1 + p0) + 1

    # Calculate variance of runs
    variance_runs = (2 * p1 * p0 * (2 * p1 * p0 - n)) / (n**2 * (p1 + p0 - 1))

    # Calculate Z-score
    z = (runs - expected_runs) / np.sqrt(variance_runs) if variance_runs > 0 else 0

    return runs, expected_runs, z

def chi_squared_test(sequence):
    """ Chi-Squared test"""
    observed = [np.sum(sequence), len(sequence) - np.sum(sequence)]  
    expected = [len(sequence) / 2, len(sequence) / 2]  
    chi2_stat, p_value = chisquare(observed, expected)
    return chi2_stat, p_value

def autocorrelation_test(sequence, lag=1):
    """Autocorrelation"""
    n = len(sequence)
    if n <= lag:
        return 0

    mean = np.mean(sequence)
    c0 = np.sum((sequence - mean) ** 2) / n  
    c1 = np.sum((sequence[:-lag] - mean) * (sequence[lag:] - mean)) / (n - lag)  

    return c1 / c0  

file_paths = [
    'pattern_sequence_1.txt',
    'pattern_sequence_2.txt',
    'pattern_sequence_3.txt',
    'pattern_sequence_4.txt',
    'pattern_sequence_5.txt',
    'pattern_sequence_6.txt',
    'pattern_sequence_7.txt',
    'pattern_sequence_8.txt',
    'lfsr_sequence_1.txt',
    'true_random.txt'
]

results = []

for file_path in file_paths:
    sequence = read_binary_sequence(file_path)
   
    runs, expected_runs, z = runs_test(sequence)
    chi2_stat, p_value = chi_squared_test(sequence)
    autocorr = autocorrelation_test(sequence)

    results.append({
        'file_path': file_path,
        'runs': runs,
        'expected_runs': expected_runs,
        'z': z,
        'chi2_stat': chi2_stat,
        'p_value': p_value,
        'autocorr': autocorr
    })


most_random_sequence = None
best_score = -np.inf  

for result in results:
 
    score = 0
   
 
    score += 1 - abs(result['z'])  
   
   
    if result['p_value'] > 0.05:
        score += 1  
   
   
    score += 1 - abs(result['autocorr'])  

   
    if score > best_score:
        best_score = score
        most_random_sequence = result['file_path']


for result in results:
    print(f"Results for {result['file_path']}:")
    print(f"  Runs = {result['runs']}, Expected Runs = {result['expected_runs']:.2f}, Z-score = {result['z']:.2f}")
    print(f"  Chi2 Stat = {result['chi2_stat']:.2f}, p-value = {result['p_value']:.4f}")
    print(f"  Autocorrelation (lag=1) = {result['autocorr']:.4f}\n")

print(f"The most random sequence based on the criteria is: {most_random_sequence}")

Другие способы по желанию, но не обязательно.

Генератор Python проходит все три статистических теста, которые предлагаются здесь для решения, другие две последовательности — нет.

Таким образом, получаем упрощенную модель реального тестирования на случайность QRNG (квантовый генератор случайных чисел), где генератор Python выступает в качестве QRNG, а остальные варианты — как PRNG.