Инженерный тур. 1 этап

1. Вероятность получить результат измерения «лампочка включена» определяется квадратом модуля коэффициента при состоянии \(\ket{\text{on}}\).
2. В условии сказано, что состояние лампочки полностью описывается приведенным выражением, значит, здесь уже учтены все возможные результаты измерений и других быть не может.
3. Поскольку вероятность сходов измерений определяется квадратом модуля соответствующих коэффициентов, знак в данном случае не играет роли.

На основании предварительных экспериментов, приведенных в условии, можно сделать вывод о том, что вероятность получения -1 равна: \[\dfrac{600}{1000} = \dfrac{3}{5};\] вероятность получения 0 равна: \[\dfrac{250}{1000} = \dfrac{1}{4};\] вероятность получения 1 равна: \[\dfrac{150}{1000}=\dfrac{3}{20}.\]

Поскольку исследуемая характеристика квантовой частицы может принимать только эти значения, можно утверждать, что ее квантовое состояние описывается вектором с тремя компонентами, соответствующими {\(\ket{-1}\), \(\ket{0}\), \(\ket{1}\)}. Причем квадрат модуля этих компонент должен давать значение вероятности конкретного результата измерения. Этим требованиям отвечают варианты A, D, E.

Сумма вероятностей всех возможных результатов измерения должна равняться единице, а вероятность отдельного исхода определяется квадратом модуля соответствующего числового коэффициента. Для приведенного вектора состояния сумма квадратов модулей числовых коэффициентов равна: \[P =\left(\sqrt{\frac{1}{10}}\right)^2+ \left(\frac{2}{3} \right)^2+\left(- \frac{1}{2}\right)^2+ \left(\frac{13}{40}\right)^2 + \left(- \frac{9}{11}\right)^2 =1{,}56951\neq 1.\] Чтобы \(P\) стало равно единице, состояние \(\ket{\Psi}\) необходимо домножить на величину: \[\frac{1}{\sqrt{P}} = 0{,}7982.\] Эта величина и является нормировочным коэффициентом.

Вероятности получения различных результатов измерений можно представить в виде гистограммы, где положение столбца будет определять результат измерения, а высота — вероятность его получения. Этому правилу соответствует только картинка С.

Для определения вероятности обнаружить кошку в состоянии «призрак» необходимо переписать состояние \(\ket{\Psi}\) в базисе \(\{\ket{\text{зомби}}, \ket{\text{призрак}}\}\). Это можно сделать, выразив состояния \(\ket{\text{жива}}\) и \(\ket{\text{мертва}}\) через состояния \(\ket{\text{зомби}}\) и \(\ket{\text{призрак}}\) из приведенной в условии системы уравнений: \[\left\{ \begin{aligned} \ket{\text{жива}} &=\sqrt\frac{1}{2} \ket{\text{зомби}} +\sqrt\frac{1}{2} \ket{\text{призрак}},\\ \ket{\text{мертва}} &= \sqrt\frac{1}{2} \ket{\text{зомби}}-\sqrt\frac{1}{2} \ket{\text{призрак}}. \end{aligned} \right.\] Подставив это в выражение для \(\ket{\Psi}\), получим: \[\ket{\Psi} = - \sqrt\frac{1}{10} \ket{\text{зомби}} - \sqrt\frac{3}{10} \ket{\text{призрак}}.\] Отсюда следует, что вероятность обнаружения кошки Шредингера в состоянии «призрак» равна: \[p_{\text{призрак}} = \left(-\sqrt\frac{3}{10}\right)^2= 0{,}9.\]

Согласно оптической схеме (рис. 1.1), после испускания из источника фотон попадает на светоделитель \(BS\). При этом часть вектора состояния фотона проходит \(BS\) насквозь с коэффициентом \(\sqrt\frac{1}{2}\), она для данной задачи неинтересна. Другая часть — отражается и выходит из \(BS\) наверх, в результате чего приобретает коэффициент \(\left(-\sqrt\frac{1}{2}\right)\). Далее эта часть отражается от зеркала \(M\), приобретая дополнительный знак (\(-1\)). Таким образом, до детектора \(D_1\) доходит состояние фотона: \[\ket{\Psi_1}=\left(-\sqrt\frac{1}{2}\right)\cdot (-1)\cdot \left( \sqrt\frac{1}{2} \ket{H}+\sqrt\frac{1}{2} \ket{V}\right)=\sqrt\frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt\frac{1}{2} \ket{H}+\sqrt\frac{1}{2} \ket{V}\right).\] Детектор сработает при попадании на него фотона с любой поляризацией, значит, необходимо найти полную вероятность прихода фотона на детектор \(D_1\): \[P_1 = \left(\sqrt\frac{1}{2} \cdot \sqrt\frac{1}{2}\right) ^2 + \left(\sqrt\frac{1}{2} \cdot \sqrt\frac{1}{2}\right)^2 = 0{,}5.\]

Проследим за изменениями квантового состояния фотона на пути от источника до детектора \(D_2\). При прохождении состояния \(\ket{\Psi}\) через первый светоделитель вызывает интерес та часть, которая пройдет горизонтально; она при этом приобретает коэффициент \(\sqrt\frac{1}{2}\). При каждом из двух отражений от зеркал M вектор состояния будет приобретать по (\(-1\)). Таким образом, до поляризационного светоделителя \(PBS\) дойдет состояние: \[\ket{\Psi'}=\sqrt\frac{1}{2} \cdot (-1) \cdot (-1) \ket{\Psi } = \frac{1}{2} \ket{H} - \frac{1}{2}\ket{V}.\] Поляризационный светоделитель отражает часть состояния с поляризацией \(V\) и пропускает часть с поляризацией \(H\). То есть до детектора \(D_2\) дойдет состояние: \[\ket{\Psi''} = \frac{1}{2} \ket{H}.\] Как видим, коэффициент при \(\ket{V}\) равен нулю.

Проследим за изменениями квантового состояния фотона на пути от источника до детектора \(D_2\). При прохождении состояния \(\ket{\Psi}\) через первый светоделитель вызывает интерес та часть, которая пройдет горизонтально; она при этом приобретает коэффициент \(\sqrt\frac{1}{2}\). При каждом из двух отражений от зеркал \(M\) вектор состояния будет приобретать по (\(-1\)). Таким образом, до поляризационного светоделителя \(PBS\) дойдет состояние: \[\ket{\Psi'}=\sqrt\frac{1}{2} \cdot (-1) \cdot (-1) \ket{\Psi} = \frac{1}{2} \ket{H} - \frac{1}{2}\ket{V}.\] Поляризационный светоделитель отражает часть состояния с поляризацией \(V\) и пропускает часть с поляризацией \(H\). То есть до детектора \(D_3\) дойдет состояние: \[\ket{\Psi''} = \frac{1}{2} \ket{V}.\] Детектор срабатывает при попадании в него фотона с любой поляризацией, поэтому для нахождения следует возвести в квадрат модуль коэффициента при единственной оставшейся компоненте \(\ket{V}\), что даст \(1/4\).