Предметный тур. Физика. 3 этап

Количество теплоты, выделяемое теплым полом за время \(t\), может быть найдено по закону Джоуля – Ленца: \[Q = I^2R t,\] где \(I\) — сила протекающего в кабеле тока, \(R\) — электрическое сопротивление кабеля, равное \[R = \frac{\rho l}{S},\] где \(\rho\) — удельное сопротивление материала кабеля, \(S\) — площадь поперечного сечения этого кабеля. Таким образом, мощность \[P = \frac{Q}{t} = I^2 \frac{\rho l}{S}\] прямо пропорциональна длине кабеля.

Обозначив сторону квадрата за \(a\), выразим ее через радиусы \(r_{1{,}2}\) скругления участков первой и второй схем. В формулах ниже первый множитель каждого слагаемого соответствует числу отрезков определенной длины, а второй — этой длине:

\[l_1 = 2\cdot 5r_1 + 2\cdot 4 r_1 + 3\cdot \pi r_1 = (18+3\pi)r_1,\] где \[r_1 = a/6 \Rightarrow l_1 = \frac{6+\pi}{2} a\] (см. верхний рисунок на рис. 1.2). Аналогично \[l_2 = 2\cdot 9r_2 + 4\cdot 8 r_2 + 5\cdot \pi r_2 = (50+5\pi)r_2,\] где \[r_2 = a/10 \Rightarrow l_2 = \frac{10+\pi}{2} a\] (см. нижний рисунок на рис. 1.2).

В результате мощности, выделяемые этими двумя схемами, относятся как \[\frac{N_2}{N_1} = \frac{l_2}{l_1} = \frac{10+\pi}{6+\pi}.\]

Дополняя эту пропорцию уравнением \(P_2 - P_1 = \Delta P\), получим систему двух линейных уравнений, имеющую решение \[P_1 = \frac{6+\pi}{4}\Delta P.\]

На плиту перекрытия действуют четыре силы. Вертикально вниз — сила ее собственной тяжести \(Mg\), приложенная к центру плиты, вес модуля \(mg\), приложенный к середине модуля (поскольку по условиям он симметричен), а также силы реакции двух колонн \(N\) (левой) и \(4N\) (правой). Легко показать из уравнения моментов, что именно правая колонна должна испытывать большую нагрузку, поскольку центр тяжести конструкции смещен в ее сторону.

Тогда первое условие равновесия (второй закон Ньютона) для этой плиты имеет вид \[N +4N = Mg + mg \Rightarrow N = \frac{(M+m)g}{5},\] а второе (уравнение моментов), записанное относительно левой колонны, \[Mg\frac{L}{2} + mg\frac{l + L}{2} = 4Nl = \frac{4(M+m)gl}{5}.\] Уравнение, полученное после проделанной подстановки, элементарно дает \[\frac{M}{m} = \frac{5L - 3L}{8l - 5L} = 9.\]

Работа, совершаемая насосом, уходит на увеличение кинетической и потенциальной энергии воды. Поднимая порцию воды массой \(m\) на высоту здания \(h\) и разгоняя ее до скорости \(v\), насос совершает работу \[A = mgh + \frac{mv^2}{2}.\] При этом сама масса \(m\), проходящая через сечение трубы за время \(t\), прямо пропорциональна этой скорости: \[m = \rho S v t,\] где \(S\) — площадь поперечного сечения форсунки, \(\rho\) — плотность воды. Подставим эти выражения друг в друга и разделим на время \(t\), чтобы получить мощность: \[N = \frac{A}{t} = \rho v S\left(gh + \frac{v^2}{2}\right).\] Подставляя в это соотношения два случая, описанных в условиях, получим \[\frac{5}{2}\cancel{\rho v S} \left(gh + \frac{v^2}{2}\right) = 2\cancel{\rho v S}\left(gh + 2v^2\right) \Rightarrow \frac{gh}{2} = \frac{11}{4}v^2 \Rightarrow h = \frac{11v^2}{2g} \approx 126\textrm{\,м}.\]

Максимальную температуру спиртовой теплоноситель имеет на выходе из теплообменника, а минимальную — на входе в него. Первая не должна превышать \(t_1\), а последняя после долгого простоя должна установиться на уровне температуры помещения \(t_0\). Для нагревания объема \(V\) состава от температуры \(t_0\) до точки кипения \(t_1\) необходимо передать ему количество теплоты \[Q = c_1 \rho_1 V (t_1-t_0),\] на что теплообменнику необходимо время \[\tau = \frac{Q}{\Phi} = \frac{c_1 \rho_1 V (t_1-t_0)}{\alpha (t_2 -t_0)}.\] Прокачивая тот же объем за меньшее или равное \(\tau\) время, насосы не позволят ему закипеть. Перестановкой множителей получим \[\alpha (t_2 -t_0)= \frac{c_1 \rho_1 V (t_1-t_0)}{ \tau} = c_1\rho_1 v (t_1 - t_0),\] откуда выразим искомую температуру: \[t_0 = \frac{c_1 \rho_1 v t_1 - \alpha t_2}{c_1 \rho_1 v - \alpha} = -15~°\text{С}.\]

Кратчайшее последовательное соединение трех элементов обеспечивается прокладкой проводов вдоль сторон этого треугольника. Реалистичная схема такого подключения изображена в левой части рис. 1.4, а эквивалентная ей, более читаемая, — на правой. На эквивалентной схеме \(r_1\) — сопротивления отрезков провода, длина которых равна стороне треугольника.

Эффективное сопротивление такого соединения \[R_1 = 2R + 3r_1,\] следовательно, в нем протекает ток \[I_1 = \frac{U_0}{R_1} = \frac{U_0}{2R + 3r_1},\] а напряжение на каждом потребителе оказывается равно \[U_1 = I_1R = \frac{U_0 R}{2R + 3r_1} = \frac{2U_0}{7}.\]

При параллельном соединении необходимо минимизировать сумму расстояний до потребителей и источника от точек ветвления цепи. Для этого, как было подсказано в условиях, точки ветвления должны находиться в центре треугольника. Соответствующие реалистичная и эквивалентная схемы также изображены на рис. 1.5. На последней \(r_2\) — сопротивление одного отрезка провода от вершины до центра треугольника.

Эффективное сопротивление \(R_2\) этого соединения равно \[R_2 = 2r_2 + \frac{2r_2 + R}{2} = 3r_2 + R/2,\] а напряжение на каждом из потребителей \[U_2 = I_2 R = \frac{U_0 R}{2R_2} = \frac{U_0 R}{6r_2 + R}.\]

Но так как сопротивление провода прямо пропорционально его длине, \(r_2 = \sqrt{3}r_1/3\) (из геометрии правильного треугольника), то есть \[U_2 = \frac{U_0 R}{2\sqrt{3}r_1 + R} = \frac{U_0}{\sqrt{3} + 1} \Rightarrow \frac{U_2}{U_1} = \frac{7}{2\sqrt{3} + 2}.\]

Балка считается прямолинейной и абсолютно жесткой, а это значит, что длина среднего троса, поддерживающего ее, должна быть равна среднему арифметическому длин правого и левого тросов, находящихся от него на одинаковых расстояниях. Поскольку по условиям длины этих тросов в покое и их коэффициенты жесткости равны, то такое же утверждение справедливо для удлинений и, следовательно, сил натяжения (обозначим их \(T_{1{,}2,3}\)): \[T_2 = \frac{T_1+T_3}{2}.\]

Эти силы направлены вертикально вверх и приложены в точках закрепления тросов. Единственная сила, противодействующая им — направленная вертикально вниз сила тяжести \(Mg\), приложенная к центру тяжести. Из первого условия равновесия (второго закона Ньютона) легко найти модуль этой силы: \[Mg = T_1 + T_2 + T_3 = \frac{3}{2}(T_1 + T_3).\]

Запишем второе условие равновесия балки (уравнение моментов) относительно точки закрепления троса \(1\): \[l T_2 + 2 l T_3 = Mg a \Rightarrow a = \frac{2(T_2 + 2T_3)}{3(T_1 + T_3)} = \frac{T_1 + 5T_3}{3(T_1 + T_3)},\] что, из закона Гука, равно \[a = l\frac{x_1 + 5x_3}{3(x_1 + x_3)} \approx 2{,}57\textrm{\,м}.\]

Поскольку стены и потолок комнаты черные возможными переотражения света от них учитывать при расчете освещенности не нужно. Световой поток, испускаемый светильником через любую окружающую его сферу, одинаков. Площадь этой сферы прямо пропорциональна квадрату ее радиуса. Следовательно, плотность светового потока \(f\), представляющая собой отношение общей световой энергии, проходящей через некоторую площадку, к площади этой площадки, обратно пропорциональна квадрату расстояния \(r\) до источника освещения. Обозначим коэффициент в этой пропорциональности \(k\): \[f = \frac{k}{r^2}.\] Тогда, обозначив высоту потолка комнаты \(H\), получим, что плотности светового потока \(f^B_2\) и \(f^B_{13}\) в точке \(B\) в двух описанных в условиях случаях равны соответственно: \[f^B_2 = \frac{k}{H^2}; \quad f^B_{13} = 2\frac{k}{H^2 + l^2}.\] Но так как эти плотности дополнительно равны между собой, получим \[\frac{k}{H^2} = 2\frac{k}{H^2 + l^2} \Rightarrow 2H^2 = H^2 + l^2 \Rightarrow H = l.\] Тогда несложно найти плотности светового потока в точке \(A\) в тех же двух случаях: \[f^A_2 = \frac{k}{H^2 + l^2} = \frac{k}{2l^2}; \quad f^A_{13} = k \left(\frac{1}{H^2} + \frac{1}{H^2 + 2l^2}\right) = \frac{4k}{3l^2};\] и их отношение: \[\frac{f^A_{13}}{f^A_2} = \frac{8}{3}.\]

Чтобы ведущий трос не рвался, относительно лифтовой шахты датчики в кабинках А и Б могут двигаться только с одинаковыми по модулю скоростями \(v\) в противоположных направлениях, поэтому \[v_\textrm{АБ} = 2v \Rightarrow v = \frac{v_\textrm{АБ}}{2}.\] То же самое справедливо для их ускорений. Записав относительно инерциальной системы отсчета второй закон Ньютона для этих датчиков в проекции на вертикальную ось, получим \[\left\{\begin{aligned} &m a = N_\textrm{А} - mg, \\ -&m a = N_\textrm{Б} - mg, \end{aligned}\right.\] где \(a\) — модули ускорения этих датчиков, \(N_\textrm{А,Б}\) — действующие на них силы нормальной реакции опоры, по модулю равные весам соответствующих датчиков, \(m\) — массы этих датчиков. Решая эту систему и подставляя равенства \(N_\textrm{АБ} = P_\textrm{АБ}\), получим \[a = g\frac{P_\textrm{A} - P_\textrm{Б}}{P_\textrm{A} + P_\textrm{Б}}.\]

Датчик в кабинке В движется с ускорением двух видов. Горизонтальная проекция его ускорения совпадает, исходя из требования неразрывности троса, с найденным выше ускорением \(a\). Вертикальная проекция его ускорения — центростремительная. Двигаясь с той же по модулю скоростью \(v\), что и две других рассмотренных кабинки, он поворачивает по радиусу \(R\): \[a_\textrm{цс} = \frac{v^2}{R} = \frac{v_\textrm{АБ}^2}{4R}.\]

Тогда модуль ускорения этого датчика можно найти по теореме Пифагора: \[a_\textrm{В} = \sqrt{a^2 + a_\textrm{цс}^2} = \sqrt{\left(g\frac{P_\textrm{A} - P_\textrm{Б}}{P_\textrm{A} + P_\textrm{Б}}\right)^2 + \frac{v_\textrm{АБ}^4}{16 R^2}} \approx 2{,}5\textrm{\,м/с}^2.\]

Кратчайшее последовательное соединение трех элементов обеспечивается прокладкой проводов вдоль сторон этого треугольника. Реалистичная схема такого подключения изображена на левой части рис. 2.4, а эквивалентная ей более читаемая — на правой. На эквивалентной схеме \(r_1\) — сопротивления отрезков провода, длина которых равна стороне треугольника.

Эффективное сопротивление такого соединения \[R_1 = 2R + 3r_1,\] следовательно, в нем протекает ток \[I_1 = \frac{U_0}{R_1} = \frac{U_0}{2R + 3r_1},\] а напряжение на каждом потребителе оказывается равно \[U_1 = I_1R = \frac{U_0 R}{2R + 3r_1}.\] Зная, что оно равно \(U_0/4\), легко установить, что \(r_1 = 2R/3\).

При параллельном соединении необходимо минимизировать сумму расстояний до потребителей и источника от точек ветвления цепи. Для этого, как было указано в условиях, точки ветвления должны находиться в центре треугольника. Соответствующие реалистичная и эквивалентная схемы также изображены на рис. 2.5. На последней \(r_2\) — сопротивление одного отрезка провода от вершины до центра треугольника.

Эффективное сопротивление \(R_2\) этого соединения равно \[R_2 = 2r_2 + \frac{2r_2 + R}{2} = 3r_2 + R/2,\] а напряжение на каждом из потребителей \[U_2 = I_2 R = \frac{U_0 R}{2R_2} = \frac{U_0 R}{6r_2 + R}.\]

Но так как сопротивление провода прямо пропорционально его длине, \(r_2 = \sqrt{3}r_1/3 = 2\sqrt{3}R/9\) (из геометрии правильного треугольника), то есть \[U_2 = \frac{U_0 R}{4\sqrt{3}R/3 + R} = \frac{3U_0}{4\sqrt{3} + 3} \approx 66{,}5\textrm{\,В}.\]

В процессе 1–2 объем и количество газа синхронно увеличиваются, следовательно, этот процесс соответствует впуску воздуха в сосуд осушителя. Затем на процессе 2–3–1 воздух сжимается, но в течение какого-то времени (процесс 2–3) при постоянном количестве — как идеальный газ. Следовательно, на этом процессе давление пара еще не достигло точки насыщения. В процессе 3–1 уменьшение объема происходит совместно с уменьшением количества газа, что в закрытом сосуде можно объяснить только конденсацией.

Пускай в воздухе изначально содержится некоторая масса \(m\) воды. В процессе 2–3 эта масса не меняется, но, как было выяснено, точка 3 является началом процесса конденсации, а значит, абсолютная влажность в этой точке соответствует абсолютной влажности \(f_0\) насыщенного пара. Тогда массу \(m\) можно выразить как \[m = \frac{4V_0}{5} f_0 = V_0 \phi f_0,\] где \(\phi\) — относительная влажность окружающего воздуха: по условиям к началу сжатия воздух внутри осушителя имеет ту же влажность, что и снаружи. Из этого уравнения легко дать ответ на первый вопрос: \[\varphi = \frac{4}{5} = 80\%.\]

Минимальный объем газа в цикле равен \(V_0/5\), поэтому когда пар в этой точке (состояние \(1\)) насыщен, общая масса воды в сосуде составляет \[m_1 = f_0 \frac{V_0}{5}.\] Далее начинается фаза впуска, и больше воды не конденсируется ни при каких условиях. После расширения газа вновь до состояния \(2\) его объем возрастает в пять раз и та же масса влаги уже соответствует абсолютной влажности \(f_{min} = m_1/V_0\) или относительной \[\phi_{min} = \frac{f_{min}}{f_0} = \frac{1}{5} = 20\%.\]

Чтобы ответить на последний вопрос задачи, найдем \(f_0\). Установлено, что \(\phi = 4/5\), следовательно, \(f_0 = 5/4f\). Известно, что \(f_{min} = f_0/5 = f/4\). Следовательно, общая масса влаги, конденсирующейся из помещения с объемом \(V_{max}\) при его осушении от абсолютной влажности \(f\) до \(f_{min}\), задается выражением \[m_{max} = V_{max} (f - f_{min}) = \frac{3}{4} V_{max} f.\] Учитывая дополнительно, что \(m_{max} = \rho v\), где \(\rho = 1000\) кг/м\(^3\), получим последний ответ: \[\rho v = \frac{3}{4} V_{max} f \Rightarrow V_{max} = \frac{4 \rho v}{3 f} \approx 167\textrm{\,м}^3.\]