Предметный тур. Математика. 3 этап

Заметим, что сумма всех чисел на поле равна \[(1 + 2 + 3 + 4) \cdot 4 = 40.\]

Однако при соблюдении правил фишка не может побывать во всех клетках. Действительно, пусть фишку переместили \(r\) раз вправо, \(l\) раз влево, \(u\) раз вверх и \(d\) раз вниз. Тогда \[r - l = 3, \quad d - u = 3.\] Следовательно, количество клеток, в которых побывала фишка, равно \[1 + r + l + d + u = 1 + (l + 3) + l + (u + 3) + u = 2(l + u) + 7,\] то есть нечетному числу.

Значит, хотя бы одна клетка останется непосещенной. Поскольку наименьшее число на поле равно 1, то наибольшая сумма не превзойдет \(40 - 1 = 39\).

Сумму 39 можно набрать, проведя фишку, как показано на рис. 1.1.

Пусть единица измерения времени такова, что на все видео приходится 7 единиц. Обозначим через \(t_{1}\) время просмотра ролика на скорости \(1{,}5\)x, а через \(t_{2}\) — на скорости \(1{,}25\)x. Тогда по условию задачи имеем систему \[\begin{cases} t_{1} + t_{2} = 5,\\ 1{,}5t_{1} + 1{,}25t_{2} = 7. \end{cases}\] Решая ее, находим \[t_{1} = 3, \quad t_{2} = 2.\]

На скорости \(1{,}5\)x школьник посмотрел \(1{,}5 t_{1} = 9/2\) единиц времени, то есть \(\dfrac{9/2}{7} = \dfrac{9}{14}\) от всего ролика. Так как \(\dfrac{9}{14} < \dfrac{3}{4}\), то школьник поменял скорость просмотра раньше, чем просмотрел 75% ролика. Значит, оставшиеся 25% были просмотрены на скорости \(1{,}25\)x. Таким образом, на оставшуюся четверть ролика было потрачено \[\frac{\frac{1}{4}\cdot 7}{1{,}25} = \frac{7}{5}\] единиц времени, то есть \(100 \cdot \dfrac{7/5}{5} = 28\%\) всего времени просмотра. Тогда на первые 75% приходится \(100 - 28 = 72\%\) всего времени просмотра.

На первое место можно поставить любую цифру, кроме 0 — всего 9 способов. На второе место можно поставить любую цифру, кроме тех, которые будут находиться на последних двух позициях — 8 способов. На третьем — так же, за исключением еще той, которая стоит на втором месте — 7 способов.

Число делится на 4, если делится на 4 число, образованное его двумя последними цифрами. Среди чисел \(0, 1, \ldots, 99\) имеется 25 делящихся на 4. Необходимо исключить 0, 44 и 88, поскольку в их записи одинаковые цифры. Таким образом, общее количество таких чисел равно \[9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot (25 - 3) = 11088.\]

Площадь \(\triangle ABC\)

\[S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot BC \cdot \sin B = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \cdot \frac{3}{5} = 12.\] Так как \(\sin^{2}B + \cos^{2}B = 1\) и угол \(B\) по условию острый, то \(\cos B = \dfrac{4}{5}\). По теореме косинусов \[AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} - 2 \cdot AB \cdot BC \cos B = 25 + 64 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \frac{4}{5} = 25.\] То есть \(AC = 5\).

Так как \(S_{ABC} = \dfrac{1}{2} AC \cdot BD\) и \(S_{ABC} = 12\), то \(BD = \dfrac{2\cdot 12}{5} = \dfrac{24}{5}\). По теореме Пифагора \[AD^{2} = AB^{2} - BD^{2} = 25 - \frac{24^{2}}{25} = \frac{49}{25}.\] Тогда \(AD = \dfrac{7}{5}\). Далее \[S_{ABD} = \frac{1}{2}BD \cdot AD = \frac{1}{2}\cdot \frac{24}{5} \cdot \frac{7}{5} = \frac{84}{25}.\]

Рассмотрим \(\triangle ABD\). Так как \(DE\) — биссектриса, то \[\frac{AE}{EB} = \frac{AD}{BD} = \frac{7}{5}\cdot \frac{5}{24} = \frac{7}{24}.\] Треугольники \(AED\) и \(ABD\) имеют общую высоту, проведенную из точки \(D\). Следовательно, \[S_{AED} = \frac{AE}{AB}S_{ABD} = \frac{7}{31}\cdot \frac{84}{25}.\]

Так как \(EF\) — медиана в \(\triangle AED\), то \[S_{AEF} = \frac{S_{AED}}{2} = \frac{7}{31} \cdot \frac{42}{25}.\]

Искомая площадь \[S_{FEBD} = S_{ABD} - S_{AEF} = \frac{84}{25} - \frac{7\cdot 42}{31 \cdot 25} = \frac{462}{155}.\]

Преобразуем левую часть неравенства: \[\sum\limits_{k=1}^{2025}\left(|x - k| - \frac{1012}{2025}k\right) = \sum\limits_{k=1}^{2025}|x - k| - \frac{1012}{2025} \sum\limits_{k=1}^{2025}k.\] Сумма арифметической прогрессии \[\sum\limits_{k=1}^{2025}k = \frac{1 + 2025}{2}\cdot 2025 = 1013 \cdot 2025.\] Тогда \[\frac{1012}{2025}\sum\limits_{k=1}^{2025}k = 1012 \cdot 1013.\] Значит, исходное неравенство равносильно \[\sum\limits_{k=1}^{2025}|x - k| \leqslant 1012 \cdot 1013 + 10^{6}.\]

Если \(x \leqslant 0\) или \(x \geqslant 2026\), то \[\sum\limits_{k=1}^{2025}|x - k| \geqslant \sum\limits_{k=1}^{2025}k = \frac{1 + 2025}{2}\cdot 2025 = 1013 \cdot 2025.\] Имеем \[1013 \cdot 2025 = 1013\cdot(1012 + 1013) = 1013 \cdot 1012 + 1013^{2} > 1013 \cdot 1012 + 10^{6}.\] Поэтому числа \(x \leqslant 0\) и \(x \geqslant 2026\) не являются решениями.

Рассмотрим сумму \(S = \sum\limits_{k=1}^{2025}|x - k|\), когда \(x\) — целое число от 1 до 2025. Имеем: \[\begin{aligned} &x = 1: \quad S = 0 + 1 + 2 + 3 + \ldots + 2024,\\ &x = 2: \quad S = 1 + 0 + 1 + 2 + \ldots + 2023,\\ &x = 3: \quad S = 2 + 1 + 0 + 1 + \ldots + 2022,\\ & \ldots\\ &x = 2025: \quad S = 2024 + 2023 + 2022 + \ldots + 0. \end{aligned}\] То есть число \(S\) — сумма двух арифметических прогрессий, \[S = \frac{(x - 1) + 0}{2}\cdot x + \frac{1 + (2025 - x)}{2}\cdot (2025 - x) = x^{2} - 2026x + 1013 \cdot 2025.\]

Таким образом, требуется найти количество целых решений неравенства \[x^{2} - 2026x + 1013 \cdot 2025 \leqslant 1012 \cdot 1013 + 10^{6},\] которое равносильно \[x^{2} - 2026x + 1013^{2} - 10^{6} \leqslant 0.\]

Дискриминант, деленный на 4, трехчлена в левой части равен \[\frac{D}{4} = 1013^{2} - (1013^{2} - 10^{6}) = 10^{6}.\] Поэтому решения неравенства лежат в промежутке \([1013 - 10^{3}, 1013+10^{3}]\). На этом отрезке находится 2001 целое число.

Рассмотрим функцию \[f(x) = 4^{\sin^{2}x} + 4^{\cos^{2}x} = 4^{\sin^{2}x} + \frac{4}{4^{\sin^{2}x}} = t + \frac{4}{t},\] где \(t = 4^{\sin^{2}x}\). Функция \(f\) достигает наименьшего значения при \(t = 2\), то есть при \(x = \dfrac{\pi}{4}\): \(f\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = 4\). Во всех остальных точках интервала \(\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)\) ее значения строго больше 4.

Рассмотрим функцию \[g(x) = \operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x = \operatorname{tg} x + \frac{1}{\operatorname{tg} x} = u + \frac{1}{u},\] где \(u = \operatorname{tg} x\). Функция \(g\) достигает наименьшего значения при \(u = 1\), то есть при \(x = \dfrac{\pi}{4}\): \(g\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = 2\). Во всех остальных точках интервала \(\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)\) ее значения строго больше 2.

Таким образом, левая часть уравнения достигает значения \(6\) при \(x = \dfrac{\pi}{4}\), а во всех остальных точках интервала \(\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)\) ее значения строго больше 6. Следовательно, имеется единственный корень \(x = \dfrac{\pi}{4}\).

Неважно, в каком порядке будем заполнять вазы цветами, важен только окончательный результат: сколько цветов будет в каждой из различных ваз. Поэтому речь идет о выборке без учета порядка, то есть о сочетаниях. Далее: цветы не выбираем, они одинаковые. Беря розу, выбираем вазу, в которую поставим эту розу. Одну и ту же вазу можно выбрать несколько раз, поэтому речь идет о схеме с повторениями. Таким образом, имеем сочетания с повторениями. Формула для числа сочетаний с повторениями имеет вид \[\overline{C_{n}^{m}} = C_{n+m - 1}^{m} = \frac{(n+m-1)!}{m!(n-1)!},\] где \(n\) — число различных объектов, а \(k\) — число их выбора. В нашем случае \(n = 5\), \(k = 20\), таким образом, будем иметь \[\overline{C_{5}^{20}} = C_{20+5-1}^{20} = \frac{24!}{20!4!} = \frac{24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 10626.\]

Преобразуем систему следующим образом:

\[\begin{cases} (x + 1)^2 + (y - 1)^2 \leqslant 36, \\ x + 1 + \sqrt{3}|y - 1| \leqslant 0. \end{cases}\\ \] Введем замену \(\widetilde{x} = x + 1\), \(\widetilde{y} = y - 1\). Тогда система примет вид: \[\begin{cases} \widetilde{x}^2 + \widetilde{y}^2 \leqslant 36, \\ \widetilde{x} + \sqrt{3}|\widetilde{y}| \leqslant 0. \end{cases}\\ \] Система задает сектор круга радиуса \(R = 6\), заключенный между прямыми \(\widetilde{y} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \widetilde{x}\) и \(\widetilde{y} = -\dfrac{1}{\sqrt{3}} \widetilde{x}\) (при \(\widetilde{y} \geqslant \dfrac{1}{\sqrt{3}} \widetilde{x}\) и \(\widetilde{y} \leqslant -\dfrac{1}{\sqrt{3}} \widetilde{x}\)).

Угол сектора круга при этом равен \(\alpha = 2 \cdot \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{3}\) радиан (прямая \(\widetilde{y} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}\widetilde{x}\) проходит под углом \(\operatorname{arctg} \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\pi}{6}\) к оси \(\widetilde{x}\)), а значит, площадь кругового сектора \[S = \frac{1}{2}R^{2} \cdot \alpha = \frac{1}{2} \cdot 6^{2} \cdot \frac{\pi}{3} = 6 \pi.\]

Построение сечения:

1. В плоскости \(BB_{1}D_{1}\): \(MK \perp DB_{1}\), \(K = MK \cap BD\), \(P = MK \cap HH_{1}\), где \(H\) и \(H_{1}\) — центры оснований призмы.
2. В плоскости \(ABC\): \(RS \parallel AC\), \(K \in RS\), \(R = RS \cap AB\), \(S = RS \cap BC\).
3. В плоскости \(AA_{1}C_{1}\): \(LN \parallel AC\), \(P \in LN\), \(L = LN \cap AA_{1}\), \(N = LN \cap CC_{1}\).
4. \(RLMNS\) — искомое сечение: \(MK \subset RLMNS\), \(MK \perp DB_{1}\) по построению, \(LN \subset RLMNS\), \(LN \parallel AC\), \(AC \perp DB_{1}\) по теореме о трех перпендикулярах.

Вычисление площади:

1. Найдем косинус угла между построенной плоскостью и плоскостью основания. Имеем: \(RS\) — ребро двугранного угла, \(BD \perp AC\) (диагонали квадрата), \(RS \parallel AC\), тогда \(BD \perp RS\), а \(MK \perp RS\) (теорема о трех перпендикулярах). Следовательно, \(\angle(RLM, ABC) = \angle(MK, BD) = \angle MKD = \alpha\).

   Треугольник \(KMD\) — прямоугольный, \(DQ\) — его высота.

   Значит, \(\triangle KMD \sim \triangle DMQ\) и \(\alpha = \angle MKD = \angle QDM\). Далее \[\begin{gather} B_{1}D = \sqrt{8^{2} + (4 \sqrt{2})^{2}} = 4 \sqrt{6},\\ \cos \alpha = \frac{DD_{1}}{B_{1}D} = \frac{8}{4 \sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}},\\ \operatorname{tg} \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}. \end{gather}\]

2. \(RSCDA\) — ортогональная проекция сечения \(RLMNS\) на плоскость основания. Имеем \[\begin{gather} BD = AC = 4 \sqrt{2},\\ KD = \frac{MD}{\operatorname{tg} \alpha} = 3 \sqrt{2},\\ KH = KD - DH = (3 - 2)\sqrt{2} = \sqrt{2}. \end{gather}\] Имеем \[\frac{RS}{AC} = \frac{BK}{HB} = \frac{2 \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}} = \frac{1}{2}.\] Тогда \(S_{RBS} = \frac{1}{4}S_{ABC} = 2\). Отсюда \[S_{RSCDA} = S_{ABCD} - S_{RBS} = 16-2 = 14.\] Окончательно находим \[S_{RLMNS} = \frac{S_{RSCDA}}{\cos \alpha} = \frac{14}{2 / \sqrt{6}} = 7 \sqrt{6}.\]

Рассмотрим выражение в скобках: \[\begin{aligned} \sum\limits_{j=1}^{n} \sum\limits_{i=j}^{n}i^2 = \sum\limits_{j=1}^{n}(j^2+(j+1)^2+\dots+&n^2)=\\ = 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \ldots + &n^{2} +\\ 2^{2} + 3^{2} + \ldots + &n^{2}+\\ 3^{2} + \ldots + &n^{2} +\\ \ldots &\\ +&n^{2}=\\ =1\cdot 1^2+2\cdot 2^2+ 3 \cdot 3^{2} +\dots+&n\cdot n^2 = \sum\limits_{k=1}^{n}k^{3}. \end{aligned}\]

Воспользуемся формулой для суммы кубов: \[\sum\limits_{k=1}^{n}k^{3} = \frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}.\] Тогда \[\begin{aligned} &\sum\limits_{n=1}^{2025} \sqrt{\left(\sum\limits_{j=1}^{n} \sum\limits_{i=j}^{n}i^2\right)^{-1}} = \sum\limits_{n=1}^{2025} \sqrt{\dfrac{4}{n^2(n+1)^2}} = \sum\limits_{n=1}^{2025} \dfrac{2}{n(n+1)}=\\ &= 2\sum\limits_{n=1}^{2025}\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) = 2\left(1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{2025} - \frac{1}{2026}\right)= \\ &=2\left(1-\dfrac{1}{2026}\right)=\dfrac{2025}{1013}. \end{aligned}\]