Предметный тур. Физика. 3 этап

Крейсерская скорость беспилотника (\(V_{\text{кр}} = 30\) м/с) в условиях полного штиля — это скорость его движения относительно воздушной среды. Относительно же поверхности Земли скорость беспилотника будет складываться из скоростей самого беспилотника и скорости движения воздушных масс (т. е. скорости ветра). При этом (согласно заданию) требуется, чтобы беспилотник двигался в строго западном направлении.

Рассмотрим самый негативный (из возможных) сценарий, когда сила (скорость) ветра \(V_{\text{в}}\) достигает максимальных значений (до 54 км/ч) на протяжении всего полета.

Скорость ветра, при переводе в метры в секунду, составит 15 м/с. \[V_{\text{в}} = 54\frac{\text{км}}{\text{ч}}=\frac{54~\text{км/ч}}{3{,}6~\text{км/м с/ч}} = 15~\text{м/с}.\]

При движении из А в Б беспилотник должен двигаться на запад, т. е. в направлении, строго противоположном оси X. Другими словами, скорость вдоль оси Y должна отсутствовать: \(V_y = 0\).

Из чего следует, что \(V_{\text{кр}} \cdot \sin \alpha = V_{\text{B}} \cdot \sin 45°\) (см. пояснительный рис. 1.3).

Согласно этому, угол \(\alpha\) — угол, под которым следует подержать ориентировку, можно получить из следующего соотношения: \[\sin \alpha = \frac{V_B}{V_{\text{кр}}} \cdot \sin 45° = \frac{15}{30} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}35355.\]

Тогда скорость вдоль оси \(X\) для беспилотника, сориентированного таким образом, составит: \[V_x = -V_{\text{кр}} \cdot \cos \alpha + V_B \cdot \cos 45°.\]

Учитывая прямое следствие из основного тригонометрического тождества, \[\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - (0{,}35355)^2} = \sqrt{0{,}875} \approx 0{,}93541.\]

Получим итоговое значение для модуля скорости вдоль оси \(X\): \[\begin{aligned} |V_x| &= V_{\text{кр}} \cdot \sqrt{1 - \left(\frac{V_B}{V_{\text{кр}}} \cdot \sin 45°\right)^2} - V_B \cdot \cos 45°; \\ |V_x| &= 30~\text{м/с} \cdot \sqrt{1 - \left(\frac{15}{30} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} - 15~\text{м/с} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 17,456~\text{м/с}. \end{aligned}\]

Время движения из \(A\) в \(B\) при сильном ветре составит: \[t_{\text{В}} = \frac{S}{V_x} = \frac{60 \cdot 10^3~\text{м}}{17{,}456~\text{м/с}} \approx 3437{,}21~\text{с}.\]

При полете в безветренную погоду потребовалось бы: \[t_0 = \frac{S}{V_{\text{кр}}} = \frac{60 \cdot 10^3~\text{м}}{30~\text{м/с}} = 2000~\text{с}.\]

Таким образом, необходимо закладывать дополнительный запас хода (времени полета) в расчете на неблагоприятные погодные условия: \[\Delta t = t_{\text{В}} - t_0 \approx 3437{,}21 - 2000 = 1437{,21}~\text{с} \approx 23{,}95~\text{мин} \approx 24~\text{мин}.\]

Примечание

Так как речь в задаче шла о запасе хода, то округление в этом случае нужно делать не по правилам округления, а по логике происходящего, т. е. до целого значения и в большую сторону.

Пятно контакта возникает в результате деформации шины колеса (см. пояснительный рис. 1.5) под действием части веса автомобиля, приходящегося на данное колесо. На одно колесо (в среднем) приходится 1/4 веса автомобиля.

Эта нагрузка уравновешивается упругой реакцией, которая зависит от внутреннего давления в шинах, жесткости самих шин и той степени деформации, которую они испытывают. Если не учитывать жесткость материала шин, то можно считать, что деформацию шин ограничивает только избыточное внутреннее давление газа в шинах по сравнению с атмосферным давлением снаружи.

Учитывая все вышесказанное, можно записать уравнение баланса сил вдоль вертикальной оси: \[\frac{1}{4}N = \Delta P \cdot S,\] где \(N\) — вес автомобиля; \(\Delta P\) — избыточное давление (по сравнению с внешним (атмосферным)); \(S\) — площадь пятна контакта, приходящегося на каждое колесо (в среднем).

При известной величине пятна контакта избыточное давление в шинах составит: \[\Delta P =\frac{N}{4 \cdot S} = \frac{mg}{4 \cdot S} = \frac{2{,}4\cdot 10^3~\text{кг} \cdot 10~\text{м/с}^2}{4 \cdot 40\cdot 25 \cdot 10^{-4}~\text{м}^2} = 6\cdot 10^4~\text{Па} \approx 0{,}6~\text{атм}.\]

В итоге абсолютное давление в шинах составило: \[P_{\text{abs}} = \Delta P + P_{\text{атм}} = 0{,}6 + 1 = 1{,}6~\text{атм}.\]

Обозначим рассматриваемые температуры, при которых нужно сравнить уровни электротепловых потерь, следующим образом: \[t_1 = +30~°\text{C}, \quad t_2 = -30~°\text{C}.\]

Общее изменение сопротивления медных электрических проводов при изменении эксплуатационной температуры происходит под влиянием не только изменения удельного электросопротивления, но также за счет изменения длины и площади сечения проводов. Это связано напрямую с тем, что общее сопротивление проводника связано с удельным сопротивлением формулой: \[R = \rho \cdot \frac{l}{S}.\]

За счет теплового расширения у медных проводов увеличится не только длина, но и возрастет площадь сечения, причем относительное изменение площади сечения будет пропорциональным квадрату отношения диаметров: \[\frac{S_2}{S_1} = \left(\frac{d_2}{d_1}\right)^2.\] Это связано с тем, что площадь сечения связана с диаметром формулой: \[S = \frac{\pi d^2}{4}.\]

При однородном тепловом расширении относительное изменение диаметра проводника происходит в той же мере, что и относительное изменение длины проводника. Поэтому относительное изменение сечения можно выразить иначе, а именно: \[\frac{S_2}{S_1} = \left(\frac{d_2}{d_1}\right)^2 = \left(\frac{l_2}{l_1}\right)^2.\]

В результате отношение электросопротивлений проводников можно выразить как: \[\frac{R_1}{R_2} = \frac{\rho_1 \cdot l_1 / S_1}{\rho_2 \cdot l_2 / S_2} = \frac{\rho_1}{\rho_2} \cdot \frac{l_1}{l_2} \cdot \frac{S_2}{S_1} = \frac{\rho_1}{\rho_2} \cdot \frac{l_1}{l_2} \cdot \left(\frac{l_2}{l_1}\right)^2 = \frac{\rho_1}{\rho_2} \cdot \frac{l_2}{l_1}.\]

Таким образом, чтобы найти отношение электросопротивлений проводников при температурах: \(t_1 = +30~°\text{C}\) и \(t_2 = -30~°\text{C}\), нужно вычислить отношения удельных электросопротивлений \(\dfrac{\rho_1}{\rho_2}\) и отношение линейных размеров \(\dfrac{l_2}{l_1}\) при соответствующих температурах.

Удельное электросопротивление чистой электротехнической меди имеет температурную зависимость вида: \[\rho_t = 0{,}0172 \cdot \left[1 + 0{,}004 \cdot (t - 20)\right].\] Следовательно: \[\frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{0{,}0172 \cdot \left[1 + 0{,}004 \cdot (+30 - 20)\right]}{0{,}0172 \cdot \left[1 + 0{,}004 \cdot (-30 - 20)\right]} = \frac{1 + 0{,}004 \cdot 10}{1 - 0{,}004 \cdot 50} = \frac{1{,}04}{0{,}8} = 1{,}3.\]

Тепловое расширение чистой электротехнической меди описывается уравнением вида: \[r_t = r_{20} \cdot \left[1 + \beta(t - 20)\right],\] где \(\beta\) — коэффициент теплового расширения, равный \(16{,}8 \cdot 10^{-6}~°\text{C}^{-1}\).

Здесь необходимо учесть, что \(r_{20}\) — исходный геометрический размер медного проводника при температуре, принятой в качестве базового (опорного) значения. Этот размер может иметь разные значения, в отличие от удельного сопротивления, имеющего вполне конкретную величину!

Следовательно, отношение линейных размеров \(\dfrac{l_2}{l_1}\) при соответствующих температурах будет равно: \[\begin{aligned} \frac{l_2}{l_1} = \frac{l_{20} \cdot \left[1 + \beta(t_2 - 20)\right]}{l_{20} \cdot \left[1 + \beta(t_1 - 20)\right]} = \frac{1 + 16,8 \cdot 10^{-6} \cdot (-30 - 20)}{1 + 16,8 \cdot 10^{-6} \cdot (30 - 20)}=\\ = \frac{1 - 16,8 \cdot 10^{-6} \cdot 50}{1 + 16,8 \cdot 10^{-6} \cdot 10} \approx \frac{0,99916}{1,000168} \approx 0,998992. \end{aligned}\] В результате отношение электросопротивлений проводников при изменении температуры составит: \[\frac{R_1}{R_2} = \frac{\rho_1}{\rho_2} \cdot \frac{l_2}{l_1} = 1{,}3 \cdot 0{,}998992 \approx 1{,}2987.\]

Согласно закону Джоуля – Ленца, мощность нагрева от электрического тока можно выразить через силу тока, напряжение и электросопротивление следующими способами: \[W = IU = \frac{U^2}{R} = I^2 R.\]

При неизменном значении тока удобнее всего пользоваться последним выражением для тепловой мощности. В итоге отношение тепловых потерь при разных температурах будет выражаться через соотношение сопротивлений: \[\frac{W_1}{W_2} = \frac{I_1^2 R_1}{I_2^2 R_2} = \frac{R_1}{R_2} = \frac{\rho_1}{\rho_2} \cdot \frac{l_2}{l_1} = 1{,}3 \cdot 0{,}998992 \approx 1{,}2987.\]

Данное относительное изменение эквивалентно относительному приросту величины теплопотерь на \(29{,}87\%\).

Согласно условию задачи и данному в нем описанию вездехода, можно сделать следующие логически непротиворечивые выводы:

1. Центр тяжести вездехода (в продольном направлении) располагается между второй и третьей осями и строго посередине вездехода (см. пояснительный рис.), т. е. на расстоянии по \(1{,}5\) м от переднего и заднего краев пятна контакта. Это следует из того, что у вездехода, стоящего на месте и в горизонтальном положении, оси нагружены равномерно, а расстояния между осями равны \(1\) м, при том, что межосевых пролетов всего три, а это означает, что \(l\) — длина пятна контакта гусеницы с грунтом — составляет \(3\) м.

2. Коэффициент трения (эффективное значение) между гусеницами и грунтом достигает значения \(\mu = 3\). Это прямое следствие из того, что максимальное усилие, с которым вездеход может тянуть буксировочный трос, составляет три его веса: \[F_{\text{тяги (буксир)}} = F_{\text{трения}} = \mu N = \mu mg.\] Так как \(F_{\text{тяги (буксир)}} = 3mg \implies \mu = 3\).

   
   Рис. 1.9.

3. Ограничение по тяге определяется исключительно трением (сцеплением с грунтом), т. к. запас по крутящему моменту в \(5\) раз превышает вес вездехода. При неограниченном уровне сцепления \(F_{\text{тяги}}\) была бы равна \(5mg\). Но в условиях имеющегося уровня сцепления реально воплощаемая сила тяги \(F_{\text{тяги}}\) будет ограничена значением, равным \(\mu N\), а не \(5mg\).

4. Максимально возможный угол подъема определяется через соотношение: \[\operatorname{tg} \alpha = \mu = 3.\] Это непосредственно следует из того, что при движении под углом \(\alpha\) к горизонту сила реакции опоры \(N\) определяется из соотношения: \[N = mg \cos \alpha.\] При этом сила тяги \(F_{\text{тяги}}\), реализуемая вездеходом, должна быть не меньше, чем \(mg \sin \alpha\) (проекция силы тяжести на наклонную плоскость), иначе вездеход не сможет двигаться вверх. Из этого следует, что максимально возможный угол подъема определяется через соотношение: \[\mu \cdot mg \cdot \cos \alpha = mg \cdot \sin \alpha.\] В результате тангенс предельного угла атаки (максимально возможный угол подъема) составляет: \(\operatorname{tg} \alpha = \mu = 3\).

   
   Рис. 1.10.

5. При подъеме вездеход сохраняет устойчивость (не опрокидывается), если вектор силы тяжести пересекает пятно контакта гусениц с грунтом, а не выходит за его рамки.

   В предельном случае вектор силы тяжести может проходить через крайнюю точку (нижнюю границу) пятна контакта (см. точку \(A\) на пояснительном рис. 1.11).

   В результате при подъеме с максимально возможным углом атаки положение центра тяжести вездехода должно быть не выше точки \(O\), т. е. располагаться на высоте, относительно поверхности грунта, не большей, чем величина отрезка \(OH\).

   
   Рис. 1.11.

   Значение \(OH\) легко найти из прямоугольного треугольника \(AOH\): \[OH = \frac{AH}{\operatorname{tg} \alpha} = \frac{AB/2}{\operatorname{tg} \alpha} = \frac{3\,\text{м}/2}{3} = 0{,}5\,\text{м}.\]

Согласно данным о скорости работы АКК и срабатывания тормозной системы, автомобиль, движущийся следом за впереди идущим автомобилем, совершающим экстренное торможение, начнет совершать торможение в полную силу спустя 0,5 с.

Наиболее неблагоприятная ситуация может реализоваться в том случае, если первый автомобиль оттормаживается лучше, чем следующий за ним (т. е. коэффициент трения у шин первого автомобиля достигает значения 0,8, а у второго — только 0,6). Следовательно, угол наклона (\(\beta\)) на графике изменения скорости от времени будет заметно меньше \(\angle\alpha\), т. к. тангенсы этих углов наклона на этих участках графиков численно равны соответствующим величинам ускорений при торможении.

В момент времени \(t = 0\) оба автомобиля двигались со скоростью 90 км/ч, что соответствует 25 м/с (\(90/3{,}6 = 25\)).

Ускорения, развиваемые при активной фазе торможения, определяются уровнем сцепления шин с дорожным полотном и величиной ускорения свободного падения:

\[a_i = \frac{F_{\text{тр}}}{m} = \frac{\mu_i N}{m} = \frac{\mu_i mg}{m} = \mu_i g.\]

Длительность фазы активного торможения (до полной остановки) зависит от скорости потока (т. е. от скорости на момент начала торможения) и от величины развиваемого ускорения при торможении: \[\tau_i = \frac{\Delta V}{a_i} = \frac{V_0 - 0}{a_i} = \frac{V_0}{a_i}.\]

Тормозной путь, включающий временную задержку до начала активной фазы торможения, определяется площадью под соответствующими графиками. Соответственно, для впереди идущего (первого) автомобиля: \[S_1 = V_0 \cdot \frac{\tau_1}{2} = \frac{V_0^2}{2\mu_1 g} = \frac{25^2}{2 \cdot 0{,}8 \cdot 10} \approx 39{,}0625\,\text{м}.\]

Для автомобиля (II), движущегося сзади: \[\begin{aligned} S_2 = V_0 \cdot 0{,}5 + \frac{V_0 \cdot \tau_2}{2} \nonumber = V_0 \cdot 0{,}5 + \frac{V_0^2}{2\mu_2 g} \nonumber =\\ = 25 \cdot 0{,}5 + \frac{25^2}{2 \cdot 0{,}6 \cdot 10} \nonumber \approx 64{,}5833\,\text{м}. \end{aligned}\]

Разность тормозных путей определяет тот необходимый минимум безопасной дистанции между автомобилями, который необходимо поддерживать системе АКК во избежание столкновения.

Т. е. необходимая (безопасная) дистанция при движении в потоке (со скоростью \(90\) км/ч) должна составлять не менее: \[S_{\text{мин}} \geqslant \Delta S = S_2 - S_1 \approx 64{,}5833\,\text{м} - 39{,}0625\,\text{м} \approx 25{,}5\,\text{м}.\]

При округлении полученного значения до целого значения необходимо округлять непременно в бОльшую сторону (без оглядки на правила округления!), т. к. здесь речь идет о минимально необходимой (безопасной) дистанции. Она однозначно должна быть не меньше найденного значения!

Когда автомобиль покоится или движется равномерно по горизонтальной поверхности, его оси нагружены соответственно с силой \(0{,}6N\) и \(0{,}4N\) (где \(N\) — вес автомобиля).

При торможении передняя ось автомобиля будет дополнительно перегружена (за счет перераспределения веса). При этом вес, приходящийся на переднюю ось \(N_{\text{п}}\), увеличится ровно на столько, на сколько снизится нагрузка \(N_{\text{з}}\), приходящаяся на заднюю ось. В сумме эти две силы остаются равными весу автомобиля.

Рассмотрим динамику торможения автомобиля, которому нужно погасить скорость 108 км/ч (\(\approx30\) м/с) за 45 м тормозного пути. Работа сил трения численно равна изменению кинетической энергии автомобиля: \[F_{\text{тр}} \cdot S = \frac{m\Delta V^2}{2} \Rightarrow F_{\text{тр}} = \frac{m\cdot(\Delta V^2)}{2S}.\]

При этом ускорение, с которым будет замедляться автомобиль, согласно второму закону Ньютона: \[a = \frac{F_{\text{тр}}}{m} = \frac{(\Delta V^2)}{2S} = \frac{30^2}{2\cdot45} = 10~\text{м/c}^2.\]

Из этого следует, что эффективное значение коэффициента трения (точнее сцепления шин с дорожным полотном) в данном случае составит \(\mu=1\) (т. к. \(a=g=10~\text{м/c}^2\)), т. е. сила трения численно равна весу автомобиля. Реальный коэффициент трения может быть и большим, т. к. ограничение по степени торможения регламентируется либо силой сцепления шин с дорожным полотном, либо величиной суммарного момента сил трения, создаваемым тормозной системой. Формулировка задачи подразумевает, что за эффективность торможения отвечает именно тормозная система. Она должна быть сбалансирована таким образом, чтобы максимально использовать силы трения, возникающие на контактных поверхностях каждого колеса (по всем осям). Т. е. подразумевается, что при этом фактическое значение коэффициента трения может иметь и большее значение, чем реализуемое при данном торможении.

Далее рассмотрим автомобиль схематично (как твердое тело прямоугольной формы) и покажем силы, создающие моменты сил, пытающиеся перевернуть и удержать автомобиль относительно выбранной оси, проходящей через две условные точки в месте контакта двух передних колес с асфальтом.

При \(a=0\). Согласно условию задачи, размерные величины на вспомогательном рисунке 2.5 имеют следующие значения: \(h=0{,}5\) м; \(l=2{,}5\) м.

Так как автомобиль не опрокидывается (не вращается) \(\Rightarrow\) относительно точки \(O\): \[\sum\vec{M}=0,\] что равносильно тому, что: \[N_3\cdot l - mgx=0;\] \[x=\frac{N_3\cdot l}{mg}=\frac{0{,}4N\cdot l}{N}=0{,}4l.\]

В результате: \[x=0{,}4\cdot2{,}5~\text{м}=1~\text{м}.\]

Таким образом, установлено, что центр тяжести автомобиля расположен на расстоянии 1 м от передней оси и в 1,5 м от задней, если отсчет вести в горизонтальной плоскости. Дополнительного известно (из условия), что центр тяжести смещен вверх на 0,5 м.

При торможении, когда \(a\neq0\) (\(a<0\)), возникают дополнительные силы, действующие на автомобиль (силы трения).

Рассмотрим моменты сил относительно центра тяжести (Ц. Т.) автомобиля, местоположение которого мы ранее определили.

Относительно Ц. Т.: \[\sum\vec{M}=0,\] что равносильно тому, что: \[N_3^\prime\cdot(l-x)+F_{\text{тр.3}}\cdot h+F_{\text{тр.п}}\cdot h-N_{\text{п}}^\prime\cdot x=0.\]

При этом сумма сил по вдоль оси \(Y\) равна нулю (автомобиль не взлетает и не проваливается). Следовательно: \[N_3^\prime+N_{\text{п}}^\prime=mg.\] Откуда: \[N_3^\prime=mg-N_{\text{п}}^\prime.\]

Таким образом: \[(mg-N_{\text{п}}^\prime)\cdot(l-x)+\mu N_3^\prime\cdot h+\mu N_{\text{п}}^\prime\cdot h-N_{\text{п}}^\prime\cdot x=0.\] \[(mg-N_{\text{п}}^\prime)\cdot(l-x)+\mu(mg-N_{\text{п}}^\prime)\cdot h+\mu N_{\text{п}}^\prime\cdot h-N_{\text{п}}^\prime\cdot x=0.\]

Учитывая, что: \(x=1\) м, \(h=0{,}5\) м; \(l=2{,}5\) м, \(\mu=1\), получаем: \[1{,}5mg-1{,}5N_{\text{п}}^\prime+0{,}5mg-0{,}5N_{\text{п}}^\prime+0{,}5N_{\text{п}}^\prime-N_{\text{п}}^\prime=0;\] \[2mg-2{,}5N_{\text{п}}^\prime=0.\]

Откуда: \[N_{\text{п}}^\prime=0{,}8mg;\] \[N_3^\prime=mg-N_{\text{п}}^\prime=0{,}2mg.\]

Получается, что силы реакции опоры при данном торможении соотносятся как \(\dfrac{N_{\text{п}}^\prime}{N_3^\prime}=4\).

Требуемое соотношение тормозных усилий со стороны тормозных колодок для создания соответствующих моментов сил трения (из-за равенства диаметров тормозных дисков) будет тем же: \(4:1\). При таком соотношении тормозные усилия будут максимально эффективно задействованы, обеспечивая равновероятный срыв колес в скольжение, если фактический уровень сцепления с дорогой окажется недостаточным для достижения требуемого замедления при торможении.

Таким образом, баланс тормозов (соотношение тормозных усилий, создаваемых тормозными цилиндрами) на передние и задние тормозные диски составляет \(4:1\), что обеспечит максимально эффективное и полное торможение автомобиля со 108 км/ч за 45 м пути, разумеется, при том условии, что уровень сцепление шин с дорогой достаточен (\(\mu\geqslant1\)) для фактической реализации такого торможения.

Эффект Доплера связан с изменением частоты и, соответственно, длины волны излучения, которое воспринимает наблюдатель (прибор) вследствие движения источника (источника и/или наблюдателя). Когда источник волн движется к наблюдателю, каждый последующий гребень волны выходит из положения, более близкого к наблюдателю, чем гребень предыдущей волны. Таким образом, каждой последующей волне необходимо немного меньше времени, чтобы добраться до наблюдателя, чем предыдущей волне, что воспринимается наблюдателем как увеличение частоты.

Если наблюдатель (радар) неподвижен, а движется только источник (в нашем случае автомобиль), то нетрудно показать, что каждый последующий гребень волны отражаемого от автомобиля излучения выходит из положения, более близкого к наблюдателю (к радару), чем гребень предыдущей волны. Если математически формализовать это утверждение, то получим следующее соотношение:

\[V\cdot f_s^\prime = f\cdot(V-V_s),\] где

• \(V\) — скорость распространения волн; в нашем случае \(V = c \approx 3\cdot10^8\) м/c (равно скорости света);
• \(V_s\) — скорость сближения источника (автомобиля) к наблюдателю (к радару);
• \(f_s^\prime\) — частота испущенного от автомобиля сигнала;
• \(f\) — частота, воспринимаемая прибором.

Следовательно, частота, воспринимаемая прибором (\(f\)), будет связана с частотой отраженного от автомобиля сигнала \(f_s^\prime\) следующим образом: \[f = \frac{V}{V-V_s}\cdot f_s^\prime.\]

Однако в рассматриваемом случае прибор регистрирует отраженное излучение, которое уже было искажено по сравнению с исходным сигналом, испущенным с частотой \(f_0=24\) кГц: \[f_S^\prime = \frac{V}{V-V_s}\cdot f_0,\] где \(V=c\) — скорость света.

Таким образом: \[f = \left(\frac{c}{c-V_s}\right)^2\cdot f_0 \Rightarrow \frac{f_0}{f} = \left(1-\frac{V_s}{c}\right)^2.\]

Длина волны \(\lambda\) связана с частотой \(f\) и скоростью \(c\) как: \[\lambda = \frac{c}{f} \Rightarrow \frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{f_2}{f_1}.\]

Следовательно, для нашего случая: \[\frac{\lambda}{\lambda_0} = \frac{f_0}{f} = \left(1-\frac{V_S}{c}\right)^2 = 1 - 2\left(\frac{V_S}{c}\right) + \left(\frac{V_S}{c}\right)^2.\]

В силу того, что скорость света на много порядков больше скорости сближения источника (автомобиля) к наблюдателю (к радару), последним членом выражения \(\left(\frac{V_S}{c}\right)^2\) можно пренебречь по причине его чрезвычайной малости при \(V_S \ll c\).

В результате отношение длин волн и частот можно рассчитывать по формуле: \[\frac{\lambda}{\lambda_0} = \frac{f_0}{f} \approx 1 - 2\left(\frac{V_S}{c}\right).\]

Тогда абсолютное изменение длины волны, зарегистрированное прибором, должно иметь следующее значение: \[|\Delta\lambda| = |\lambda-\lambda_0| = 2\left(\frac{V_S}{c}\right)\cdot\lambda_0 = 2\frac{V_s}{c}\cdot\frac{c}{f_0} = 2\left(\frac{V_s}{f_0}\right) \approx 2\cdot\frac{(100/3{,}6)~\text{м/с}}{24\cdot10^3~\text{Гц}} \approx 2{,}315\cdot10^{-3}~\text{м}.\]

Прибор должен зафиксировать скорость автомобиля с погрешностью не более 1%, поэтому он должен обладать достаточной точностью и чувствительностью, при которой он будет способен надежно фиксировать изменения длин волн, не превышающих одной сотой доли от найденной нами величины абсолютного изменения, возникшего при движении автомобиля со скоростью 100 км/ч, что соответствует: \(2{,}3\cdot10^{-5}\) м.

Исходная рабочая температура накала нити лампы составляет: \(t_1 = 2127~°\)С, что эквивалентно 2400 К (по абсолютной шкале температур).

Энергетическая светимость серого тела \(W\sim T^4\) (\(W=\varepsilon\cdot\sigma\cdot T^4\)), где

• \(\varepsilon\) — степень черноты тела,
• \(\sigma\) — постоянная Стефана – Больцмана,
• \(T\) — абсолютная температура.

Так как конструктивных изменений в устройство не вносилось, отношение светимостей будет связано исключительно с изменением температуры накала нити: \[\frac{W_2}{W_1} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4.\]

Световой поток \(\Phi\), создаваемый лампой, пропорционален энергетической светимости лампы, следовательно, \[\frac{\Phi_2}{\Phi_1} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4.\]

На расстояниях в 10–15 м нить накала лампы можно смело считать точечным источником света. Следовательно, освещенность (\(E\)) будет убывать обратно пропорционально площади поверхности той части сферы, находящейся в пределах телесного угла, в котором распространяется световой поток, испускаемый источником света (фарой): \[E = \frac{\Phi}{S_{\text{пов.}}}.\]

Площадь части сферы \(S_{\text{пов.}}\) внутри телесного угла \(\omega\) численно равна: \[S_{\text{пов.}} = 4\pi R^2 \frac{\omega}{4\pi} = \omega R^2,\] где \(\omega\) — телесный угол, \(R\) — радиус сферы.

В результате отношение освещенностей, создаваемых лампами, разогретыми до разных температур на разных расстояниях, определяются из соотношения: \[\frac{E_2}{E_1} = \frac{\Phi_2}{\Phi_1}\cdot\left(\frac{R_1}{R_2}\right)^2 = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4\cdot\left(\frac{R_1}{R_2}\right)^2.\]

Из чего следует, что: \[T_2 = T_1 \sqrt{\frac{R_1}{R_2}}\cdot \sqrt[4]{\frac{E_2}{E_1}}.\]

Так как в задаче требуется, чтобы уровень освещенности на дистанции 15 м для более разогретой лампы был тем же, что и на 10 м для исходной лампы, т. е.: \[E_2 = E_1;\] \[T_2 = T_1 \sqrt{\frac{R_2}{R_1}} = 2400~\text{К}\sqrt{\frac{15~\text{м}}{10~\text{м}}} \approx 2939~\text{К};\] \[\Delta T = T_2 - T_1 = (2939 - 2400)~\text{К} = 539~\text{К} = 539~°\text{С}.\]

Индуктивность соленоида (\(L\)) зависит от числа витков соленоида (\(n\)), его длины (\(l\)), площади витков с током (\(S\)), магнитной проницаемости (\(\mu\)) и некоторого коэффициента (\(k\)), зависящего от формы соленоида: \[L = k\cdot \mu_0\cdot\mu\cdot\frac{n^2 \cdot S}{l}.\]

Из-за того что катушка индуктивности частично пострадала, длина проволоки, которую можно было использовать повторно, уменьшилась и составила 85% от первоначальной длины. Если осуществлять повторную намотку с тем же шагом и на том же диаметре оправки, то: \[n^\prime = 0{,}85\cdot n_0;\] \[l^\prime = 0{,}85\cdot l_0;\] \[S^\prime = S_0.\]

При этом индуктивности «после» и «до», будут соотносится как: \[\frac{L^\prime}{L_0} = \frac{0{,}85^2}{0{,}85} = 0{,}85.\]

Электрическую схему приемника радиосигнала можно изобразить в виде трех составных элементов, имеющих соответствующее омическое, емкостное и индуктивное сопротивление.

Условие резонанса в такой цепи будет удовлетворять циклическая частота \(\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}\), при которой полное сопротивление достигает минимума (постепенно достигая величины омического сопротивления), т. е. когда \(\omega_0 L = \frac{1}{\omega_0 C}\) (когда индуктивное равно емкостному сопротивлению), при этом: \[C = \frac{1}{L\cdot\omega_0^2}.\]

Так как по условию задачи требуется сохранить резонансную частоту (частоту приема), то: \[\frac{C^\prime}{C_0} = \frac{L_0}{L^\prime} = \frac{L_0}{0{,}85\cdot L_0} \approx 1{,}17647 \approx 1{,}18.\]

Момент силы — векторная величина, которая характеризует силовое воздействие, вызывающее вращательное движение.

Крутящий момент двигателя можно выразить как векторное произведение радиус-вектора \(\vec{r}\) — вектора, проведенного от оси вращения до точки приложения (генерации) силы \(\vec{F}\), на вектор силы \(\vec{F}\): \[\vec{M} = [\vec{r} \times \vec{F}].\]

Мощность двигателя можно воспринять как некий объем работы, который может выполнять двигатель за рассматриваемый промежуток времени и отнесенный к длительности этого промежутка времени.

Мощность связана с действием силы, совершаемом на некотором преодолеваемом расстоянии: \[N = \frac{\Delta A}{\Delta t} = \frac{F\cdot \Delta S\cdot\cos\alpha}{\Delta t} = F\cdot V\cdot\cos\alpha,\] где \(\alpha\) — угол между векторами \(\vec{F}\) и \(\vec{V}\); \(\vec{V}\) — скорость материальной точки.

В случае воздействия момента силы совершаемое действие выражается через «угловое расстояние» \(\Delta\varphi\) (изменение угла): \[N = \frac{\Delta A}{\Delta t} = \frac{M\cdot \Delta\varphi}{\Delta t} = M\cdot\omega,\] где \(\omega\) — угловая скорость (рад/сек): \(\omega = 2\pi n\); \(n\) — частота вращения (об/с).

В результате: \[N = \frac{2\pi M n^*}{60},\] где \(n^*\) — частота оборотов двигателя, выраженная в (об/мин).

В итоге для выражения крутящего момента можно получить выражение, связывающее его с мгновенной мощностью и частотой оборотов: \[M = \frac{30\cdot N}{\pi\cdot n^*}.\]

Согласно данным, приведенным в таблице, и сделанным соответствующим вычислениям момента, можно сделать вывод о том, что максимальное значение момента \(M_{\text{мах}} \approx 200\) Н\(\cdot\)м было достигнуто при частоте \(n^* = 4000\) об/мин.